1. Найдите число, обратное числу 3/8 (дробь). 2. Выполните следующие действия с дробями: а) 3/4 : 1/2 б) 4/7

Хорошо, давайте начнем с первой задачи.

1. Чтобы найти число, обратное числу \(\frac{3}{8}\), необходимо инвертировать эту дробь. Инверсия дроби выполняется путем обмена числителя и знаменателя. Таким образом, обратное число будет \(\frac{8}{3}\).

Теперь перейдем ко второй задаче.

2. а) Чтобы разделить дроби, нужно умножить первую дробь на обратную второй дроби. В данном случае, \(\frac{3}{4} : \frac{1}{2}\) равносильно \(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{6}{4}\), что можно упростить до \(\frac{3}{2}\).

б) Аналогично предыдущему пункту, \(\frac{4}{7} : \frac{4}{5}\) равносильно \(\frac{4}{7} \cdot \frac{5}{4} = \frac{20}{28}\), что также можно упростить до \(\frac{5}{7}\).

в) Для деления дробей, умножим делимую дробь на обратную делителя. Следовательно, \(\frac{18}{19} : 9\) равносильно \(\frac{18}{19} \cdot \frac{1}{9} = \frac{18}{171}\), что упрощается до \(\frac{2}{19}\).

г) Если у нас есть деление дроби на целое число, то необходимо разделить числитель на это число. Поэтому \(11 : \frac{22}{31}\) можно записать как \(11 \cdot \frac{31}{22} = \frac{341}{22}\).

д) В данном случае нам нужно выполнить несколько действий. Начнем с \(11 : \frac{2}{5}\), что эквивалентно \(11 \cdot \frac{5}{2} = \frac{55}{2}\). Затем поделим полученную дробь на 3: \(\frac{55}{2} : 3 = \frac{55}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{55}{6}\). И, наконец, разделим на \(\frac{4}{5}\): \(\frac{55}{6} \div \frac{4}{5} = \frac{55}{6} \cdot \frac{5}{4} = \frac{275}{24}\).

е) Мы имеем деление смешанных чисел. Прежде чем выполнять деление, давайте приведем оба числа к неправильным дробям. Таким образом, \(1 \frac{9}{11} = \frac{20}{11}\) и \(2 \frac{4}{33} = \frac{70}{33}\). Затем, для деления дробей, умножим первую дробь на обратную второй дроби: \(\frac{20}{11} \div \frac{70}{33} = \frac{20}{11} \cdot \frac{33}{70} = \frac{660}{770}\), что можем упростить до \(\frac{132}{154}\), а затем до \(\frac{66}{77}\).

Переходим к третьей задаче.

3. а) Чтобы решить уравнение \(\frac{5}{9}x = 2 \frac{1}{3}\), сначала упростим смешанную дробь: \(2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\). Затем умножим обе стороны уравнения на обратную дроби \(\frac{9}{5}\): \(\frac{5}{9}x \cdot \frac{9}{5} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{5}\). Таким образом, \(x = \frac{63}{15}\), что можно упростить до \(x = \frac{21}{5}\).

б) В данном уравнении нужно выразить \(x\). Для этого сначала выполним операцию деления: \(14 : 39 = \frac{2}{3}\). Затем умножим обе стороны уравнения на обратную дроби \(\frac{39}{21}\): \(\frac{2}{3} \cdot \frac{39}{21} = \frac{21}{21} \cdot x\). Получаем \(x = \frac{2}{3} \cdot \frac{39}{21}\), что можно упростить до \(x = \frac{26}{21}\).

Перейдем к четвертой задаче.

4. а) Нам нужно выполнить операции внутри скобок перед делением. Сначала вычтем две смешанные дроби: \(3 \frac{3}{4} - 1 \frac{5}{6} = 3 \frac{3}{4} - \frac{11}{6}\). Затем вычислим эту разность, приведя к общему знаменателю: \(3 \frac{3}{4} - \frac{11}{6} = \frac{15}{4} - \frac{11}{6}\). Найдем общий знаменатель для этих двух дробей, который будет равен 12. Приведем дроби к общему знаменателю: \(\frac{15}{4} - \frac{11}{6} = \frac{45}{12} - \frac{22}{12}\). Теперь вычислим разность: \(\frac{45}{12} - \frac{22}{12} = \frac{23}{12}\). И, наконец, поделим \(\frac{1}{7}\) на \(\frac{23}{12}\): \(1 \frac{7}{16} : \frac{23}{12} = \frac{7}{16} \cdot \frac{12}{23} = \frac{84}{368}\), что упрощается до \(\frac{21}{92}\).

б) Для решения этой задачи нужно выполнить операции внутри скобок сначала. Вычтем две смешанные дроби: \(4 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{2} = 4 \frac{3}{4} - \frac{5}{2}\). Приведем дроби к общему знаменателю, равному 8: \(4 \frac{3}{4} - \frac{5}{2} = \frac{31}{8} - \frac{20}{8}\). Теперь вычислим разность: \(\frac{31}{8} - \frac{20}{8} = \frac{11}{8}\). Затем выполним деление: \(\frac{11}{8} : \frac{1}{8} = \frac{11}{8} \cdot \frac{8}{1} = 11\). Наконец, прибавим 5 \(\frac{3}{7}\): \(11 + 5 \frac{3}{7} = 11 + \frac{38}{7} = \frac{85}{7}\).

Идем к пятой и последней задаче.

5. Нам нужно решить уравнение \(1 \frac{1}{9}x + \frac{7}{18}x - \frac{13}{27}x = 0\).

Сначала приведем смешанную дробь к общему знаменателю, который будет равен 18: \(1 \frac{1}{9} = \frac{10}{9}\).

Теперь складываем все дроби с общим знаменателем: \(\frac{10}{9}x + \frac{7}{18}x - \frac{13}{27}x\).

Общий знаменатель позволяет нам складывать эти дроби: \(\frac{10}{9}x + \frac{7}{18}x - \frac{13}{27}x = \frac{20}{18}x + \frac{7}{18}x - \frac{13}{27}x\).

Теперь, объединяя переменные, получаем: \(\frac{20}{18}x + \frac{7}{18}x - \frac{13}{27}x = \frac{37}{18}x - \frac{13}{27}x\).

Складываем переменные: \(\frac{37}{18}x - \frac{13}{27}x = \frac{999}{486}x - \frac{26}{54}x\).

Наконец, сокращаем дроби и находим \(x\): \(\frac{999}{486}x - \frac{26}{54}x = 0\).

Общий знаменатель равен 486, поэтому \(\frac{999}{486}x - \frac{26}{54}x = 0\) упрощается до \(\frac{1993}{972}x - \frac{26}{54}x = 0\).

Получаем \(\frac{1993 - 972 \cdot 26}{972}x = 0\).

\(\frac{1993 - 25272}{972}x = 0\).

\(\frac{-23279}{972}x = 0\).

Делаем вывод, что \(x = 0\).

Это все ответы на задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, обращайтесь.