1) Нарисуйте сечения шара, проходящие через две заданные точки на его поверхности и имеющие наименьшую и наибольшую

Давайте начнем с первой задачи - нарисовать сечения шара, проходящие через две заданные точки на его поверхности и имеющие наименьшую и наибольшую площадь.

Для начала, давайте разберемся в том, какие сечения шара мы можем получить. Шар можно рассматривать как множество всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра. Сечение шара - это плоскость, которая пересекает шар и разделяет его на две части.

Для нахождения сечений, проходящих через две заданные точки на поверхности шара, мы можем привлечь диаметр шара. Диаметр - это отрезок, соединяющий две точки на поверхности шара и проходящий через его центр.

Теперь перейдем к самому интересному - нахождению сечений с наименьшей и наибольшей площадью.

1) Сечение с наименьшей площадью: чтобы найти такое сечение, мы должны привлечь диаметр шара, проходящий через две заданные точки. Это сечение будет перпендикулярно диаметру, поэтому оно будет иметь форму круга. Площадь круга можно вычислить по формуле \(S = \pi \cdot r^2\), где \(S\) - площадь, а \(r\) - радиус круга. Так как мы имеем дело с сечением шара, радиус круга будет равен половине радиуса шара.

2) Сечение с наибольшей площадью: чтобы найти такое сечение, мы должны провести касательную плоскость к поверхности шара в одной из заданных точек. Это сечение будет иметь форму многогранника, который называется касательной плоскостью по отношению к шару. Площадь такой касательной плоскости можно вычислить, используя геометрические методы, такие как формула герона для треугольника или формула площади прямоугольника.

Теперь перейдем к второй задаче - нарисовать два сечения шара, которые являются симметричными относительно его центра.

Для этого нам понадобится знание о сферической симметрии. Сферическая симметрия означает, что все точки на поверхности шара равноудалены от его центра. Следовательно, если провести сечение шара, проходящее через его центр, симметричными относительно этого сечения будут другие два сечения, которые также проходят через центр шара.

Таким образом, чтобы нарисовать два симметричных сечения шара, мы проводим одно сечение через его центр и получаем два других сечения, расположенных на противоположных сторонах шара. Эти два сечения будут являться симметричными относительно центра шара.