1. Нарисуйте куб с вершинами abcda1b1c1d1 и выберите две произвольные точки м и к внутри грани abcd. Проведите

Для решения данной задачи, мы начнем с построения самого куба с вершинами \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(a_1\), \(b_1\), \(c_1\), \(d_1\). После этого, выберем две произвольные точки \(м\) и \(к\) внутри грани \(abcd\).

а) Линия пересечения плоскости, проходящей через точки \(а_1мк\) и грань \(abcd\) куба:
- Соединяем точку \(а_1\) с точкой \(м\) линией.
- Соединяем точку \(а_1\) с точкой \(к\) линией.
- Проводим линию, которая пересекает грань \(abcd\) в точке \(х\).
- Полученная линия является линией пересечения требуемой плоскости и грани \(abcd\) куба.

б) Точки пересечения плоскости, проходящей через точки \(а_1мк\), с линиями, содержащими ребра \(ad\), \(bc\) и \(dd_1\) куба:
- Соединяем точку \(а_1\) с точкой \(м\) линией.
- Соединяем точку \(а_1\) с точкой \(к\) линией.
- Продолжаем линии \(ad\), \(bc\) и \(dd_1\) до пересечения с плоскостью, проходящей через точки \(а_1мк\).
- Полученные точки пересечения будут точками \(у\), \(v\) и \(w\) соответственно.

в) Отрезки, на которых плоскость \(а_1мк\) пересекает грани \(авв_1а_1\), \(адд_1а_1\) и \(а_1б_1ц_1д_1\) куба:
- Соединяем точку \(а_1\) с точкой \(м\) линией.
- Соединяем точку \(а_1\) с точкой \(к\) линией.
- Проводим линию, которая пересекает грань \(авв_1а_1\) в точке \(р\).
- Проводим линию, которая пересекает грань \(адд_1а_1\) в точке \(с\).
- Проводим линию, которая пересекает грань \(а_1б_1ц_1д_1\) в точке \(т\).
- Полученные отрезки \(а_1р\), \(а_1с\) и \(а_1т\) являются отрезками, на которых плоскость \(а_1мк\) пересекает грани \(авв_1а_1\), \(адд_1а_1\) и \(а_1б_1ц_1д_1\) куба соответственно.

Итак, мы выполнили все требуемые конструкции, проведя линию пересечения плоскости, проходящей через точки \(а_1мк\) и грань \(abcd\) куба (а), точки пересечения плоскости с линиями, содержащими ребра \(ad\), \(bc\) и \(dd_1\) куба (б), а также отрезки, на которых плоскость \(а_1мк\) пересекает грани \(авв_1а_1\), \(адд_1а_1\) и \(а_1б_1ц_1д_1\) куба (в).