Какова длина радиуса основания равностороннего конуса, если площадь его полной поверхности равна 27П?

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание конуса
Перед тем, как приступить к решению, важно понять, что такое равносторонний конус. Равносторонний конус - это конус, у которого основание является равносторонним треугольником и все боковые грани равны между собой.

Шаг 2: Известные данные
У нас есть информация о площади полной поверхности конуса, которая равна 27П.

Шаг 3: Формула для площади поверхности конуса
Формула для площади поверхности конуса - это С = Пr² + Пrl, где С - площадь поверхности, r - радиус основания, l - образующая конуса.

Шаг 4: Площадь полной поверхности равностороннего конуса
Так как у нас равносторонний конус, то его образующая l и его радиус основания r связаны соотношением l = r√3. Подставим данные в формулу площади поверхности и найдем выражение для радиуса.

27П = Пr² + Пr(r√3)

Шаг 5: Упрощение уравнения
Распределим П между двумя слагаемыми:

27 = r² + r²√3

Сгруппируем члены:

27 = (1 + √3)r²

Шаг 6: Нахождение радиуса
Теперь, чтобы найти радиус конуса, нужно избавиться от скобки. Для этого разделим обе части уравнения на (1 + √3):

\[\frac{27}{1 + \sqrt{3}} = r²\]

\[\frac{27(1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3}} = r²\]

\[\frac{27 - 27\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = r²\]

\[\frac{(27 - 27\sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = r²\]

\[\frac{27 + 27\sqrt{3} - 27\sqrt{3} - 27\sqrt{9}}{1 - 3} = r²\]

\[\frac{27 - 27\sqrt{9}}{-2} = r²\]

\[\frac{27 - 27 \cdot 3}{-2} = r²\]

\[\frac{27 - 81}{-2} = r²\]

\[\frac{-54}{-2} = r²\]

\[27 = r²\]

Так как исходное уравнение подразумевало, что длина радиуса должна быть положительна, мы получаем, что r = √27. Поскольку радиус не может быть отрицательным, полученный радиус равностороннего конуса равен \(\sqrt{27}\).

Итак, длина радиуса основания равностороннего конуса равна \(\sqrt{27}\).