1. Нарисуйте график функции y=x2−4 . a) Что координаты вершины параболы? б) При каких значениях x значения функции

Хорошо! Давайте разберем каждую часть задачи по порядку.

а) Чтобы найти координаты вершины параболы $y=x^2-4$, нам необходимо знать, что вершина имеет координаты $(h,k)$, где $h$ - это абсцисса (координата $x$) вершины, а $k$ - это ордината (координата $y$) вершины.

Формула для нахождения координат вершины параболы вида $y=a{x}^2+bx+c$ выглядит следующим образом:

$$h=-\frac{b}{2a}$$
$$k=c-\frac{b^2}{4a}$$

В данном случае у нас функция $y=x^2-4$, где $a=1$, $b=0$ и $c=-4$. Подставим значения в формулы:

$$h=-\frac{0}{2\cdot 1}=0$$
$$k=-4-\frac{0}{4\cdot 1}=-4$$

Таким образом, координаты вершины параболы $y=x^2-4$ равны (0, -4).

б) Чтобы найти значения $x$, при которых функция $y=x^2-4$ отрицательна, нужно решить неравенство $x^2-4<0$. Для этого мы можем использовать факторизацию или метод интервалов.

Факторизуем неравенство $x^2-4<0$:

$(x-2)(x+2)<0$

Теперь посмотрим на таблицу знаков:

$$\begin{array}{|cccc|}\hline & x-2& x+2& (x-2)(x+2)\\ x<-2& -& -& +\\ -2<x<2& -& +& -\\ x>2& +& +& +\\ \hline\end{array}$$

Из таблицы знаков видно, что неравенство будет выполнено, когда $x$ находится в интервале $(-2,2)$. То есть значения $x$, при которых функция $y=x^2-4$ отрицательна, это все значения $x$ между -2 и 2 (не включая -2 и 2).

в) Чтобы найти значения $x$, при которых функция $y=x^2-4$ возрастает, мы должны определить, когда производная функции положительна.

Возьмем производную функции $y=x^2-4$:
$\frac{dy}{dx}=2x$

Производная равна нулю, когда $2x=0$. Значит, $x=0$.

Теперь рассмотрим знаки производной в разных интервалах:

$$\begin{array}{|cc|}\hline x<0& \text{Отрицательный знак}\\ x>0& \text{Положительный знак}\\ \hline\end{array}$$

Из этого следует, что функция $y=x^2-4$ возрастает при $x>0$.

г) Чтобы найти значения $x$, при которых функция $y=x^2-4$ убывает, мы должны определить, когда производная функции отрицательна.

Мы уже вычислили производную функции $y=x^2-4$: $\frac{dy}{dx}=2x$.

Значит, производная отрицательна, когда $2x<0$. Решим это неравенство:

$x<0$

Таким образом, функция $y=x^2-4$ убывает при $x<0$.

Надеюсь, это помогло понять задачу!