1. Нарисуйте график функции y=x2−4 . a) Что координаты вершины параболы? б) При каких значениях x значения функции

Хорошо! Давайте разберем каждую часть задачи по порядку.

а) Чтобы найти координаты вершины параболы \(y = x^2 - 4\), нам необходимо знать, что вершина имеет координаты \((h, k)\), где \(h\) - это абсцисса (координата \(x\)) вершины, а \(k\) - это ордината (координата \(y\)) вершины.

Формула для нахождения координат вершины параболы вида \(y = ax^2 + bx + c\) выглядит следующим образом:

\[h = -\frac{b}{2a}\]
\[k = c - \frac{b^2}{4a}\]

В данном случае у нас функция \(y = x^2 - 4\), где \(a = 1\), \(b = 0\) и \(c = -4\). Подставим значения в формулы:

\[h = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0\]
\[k = -4 - \frac{0}{4 \cdot 1} = -4\]

Таким образом, координаты вершины параболы \(y = x^2 - 4\) равны (0, -4).

б) Чтобы найти значения \(x\), при которых функция \(y = x^2 - 4\) отрицательна, нужно решить неравенство \(x^2 - 4 < 0\). Для этого мы можем использовать факторизацию или метод интервалов.

Факторизуем неравенство \(x^2 - 4 < 0\):

\((x - 2)(x + 2) < 0\)

Теперь посмотрим на таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& x - 2 & x + 2 & (x - 2)(x + 2) \\
\hline
x < -2 & - & - & + \\
\hline
-2 < x < 2 & - & + & - \\
\hline
x > 2 & + & + & + \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы знаков видно, что неравенство будет выполнено, когда \(x\) находится в интервале \((-2, 2)\). То есть значения \(x\), при которых функция \(y = x^2 - 4\) отрицательна, это все значения \(x\) между -2 и 2 (не включая -2 и 2).

в) Чтобы найти значения \(x\), при которых функция \(y = x^2 - 4\) возрастает, мы должны определить, когда производная функции положительна.

Возьмем производную функции \(y = x^2 - 4\):
\(\frac{dy}{dx} = 2x\)

Производная равна нулю, когда \(2x = 0\). Значит, \(x = 0\).

Теперь рассмотрим знаки производной в разных интервалах:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x < 0 & \text{Отрицательный знак} \\
\hline
x > 0 & \text{Положительный знак} \\
\hline
\end{array}
\]

Из этого следует, что функция \(y = x^2 - 4\) возрастает при \(x > 0\).

г) Чтобы найти значения \(x\), при которых функция \(y = x^2 - 4\) убывает, мы должны определить, когда производная функции отрицательна.

Мы уже вычислили производную функции \(y = x^2 - 4\): \(\frac{dy}{dx} = 2x\).

Значит, производная отрицательна, когда \(2x < 0\). Решим это неравенство:

\(x < 0\)

Таким образом, функция \(y = x^2 - 4\) убывает при \(x < 0\).

Надеюсь, это помогло понять задачу!