1. На рисунке 15, если mo || np , и известно, что op = 20 см , pk = 8 см и mn = 15 см , какова длина отрезка nk

1. Для решения данной задачи применим теорему о параллельных прямых, которая гласит: "Если две прямые параллельны и пересекаются с третьей прямой, образуют с ней соответственные равные углы". Из условия "mo || np" следует, что углы "mo" и "np" равны.
Также известно, что "op = 20 см", "pk = 8 см" и "mn = 15 см".
Для нахождения длины отрезка "nk" мы можем использовать подобные треугольники "omn" и "opk".
Так как углы "mo" и "np" равны, а углы "omn" и "opk" также равны (по свойству равных углов), то треугольники "omn" и "opk" подобны.

Поскольку подобные треугольники имеют пропорциональные стороны, мы можем записать следующее уравнение:
\[\frac{{mn}}{{pk}} = \frac{{no}}{{po}}\]

Подставляя известные значения, получаем:
\[\frac{{15}}{{8}} = \frac{{no}}{{20}}\]

Теперь, чтобы найти длину отрезка "nk", решим уравнение:
\[no = \frac{{15 \cdot 20}}{{8}}\]
\[no = 37.5\]

Таким образом, длина отрезка "nk" равна 37.5 см.

2. Рассмотрим задачу о подобии треугольников "abc" и "a1b1c1". Из условия известно, что стороны "ab" и "ac" соответствуют сторонам "a1b1" и "a1c1". Подобные треугольники имеют пропорциональные стороны.

Мы знаем, что "ab = 12 см", "ac = 18 см", "a1c1 = 12 см" и "b1c1 = 18 см".

Тогда, используя пропорциональность сторон треугольников "abc" и "a1b1c1", можно записать следующие уравнения:

\[\frac{{ab}}{{a1b1}} = \frac{{ac}}{{a1c1}} = \frac{{bc}}{{b1c1}}\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[\frac{{12}}{{a1b1}} = \frac{{18}}{{12}} = \frac{{bc}}{{18}}\]

Решая уравнение, найдем значение неизвестной стороны "a1b1":
\[a1b1 = \frac{{12 \cdot 12}}{{18}}\]
\[a1b1 = 8\]

Аналогично, найдем значение неизвестной стороны "bc":
\[bc = \frac{{12 \cdot 18}}{{12}}\]
\[bc = 18\]

Таким образом, значения неизвестных сторон треугольников "abc" и "a1b1c1" равны: "a1b1 = 8 см" и "bc = 18 см".

3. Дана биссектриса "bm" треугольника "abc", и известно, что "ab = 30 см", "am = 12 см" и "mc = 14 см". Чтобы найти длину стороны "bc", воспользуемся теоремой биссектрисы, которая гласит: "В треугольнике биссектриса делит противоположную сторону пропорционально отрезками, равными отрезкам двух других сторон".

Из условия известно, что "bm" является биссектрисой треугольника "abc". Значит, у нас есть следующее соотношение:
\[\frac{{am}}{{mc}} = \frac{{ab}}{{bc}}\]

Подставляя известные значения, получаем:
\[\frac{{12}}{{14}} = \frac{{30}}{{bc}}\]

Решим уравнение относительно "bc":
\[\frac{{12 \cdot bc}}{{14}} = 30\]
\[12 \cdot bc = 30 \cdot 14\]
\[bc = \frac{{30 \cdot 14}}{{12}}\]
\[bc = 35\]

Таким образом, длина стороны "bc" равна 35 см.

4. Дан треугольник "abc" и точка "d" на стороне "ab" такая, что "ad : bd"