1. На наклонной плоскости под углом 30 градусов установлен груз массой 40 кг. Какова величина трения, которая

Задача 1. Для нахождения величины трения, которая предотвращает движение груза на наклонной плоскости, нам понадобится использовать формулу второго закона Ньютона. Начнём с разложения сил, действующих на груз вдоль и поперёк наклонной плоскости.

Поперечная составляющая силы тяжести равна \(F_{\text{тяж}} = mg \cdot \sin\alpha\), где \(m\) - масса груза, \(g\) - ускорение свободного падения (\(9,8 \, \text{м/с}^2\)), \(\alpha\) - угол наклона плоскости (в нашем случае, 30 градусов).

Сила трения \(F_{\text{тр}}\) будет равна \(F_{\text{тр}} = \mu_s \cdot N\), где \(\mu_s\) - коэффициент трения покоя, \(N\) - нормальная сила.

Нормальная сила можно найти, учитывая, что наклонная плоскость действует перпендикулярно поверхности. Тогда \(N = mg \cdot \cos\alpha\).

Трение начинает действовать только в том случае, если поперечная составляющая силы тяжести превышает силу трения. Мы можем записать это условие в виде \(F_{\text{тяж}} > F_{\text{тр}}\).

Подставим значения в формулы и решим неравенство, чтобы найти величину трения (\(F_{\text{тр}}\)):

\[mg \cdot \sin\alpha > \mu_s \cdot mg \cdot \cos\alpha\]

Сократим на \(mg\):

\[\sin\alpha > \mu_s \cdot \cos\alpha\]

Теперь решим неравенство для \(\mu_s\):

\[\mu_s < \tan\alpha\]

Подставим значение угла \(\alpha = 30\) градусов:

\[\mu_s < \tan 30^\circ\]

Воспользуемся тригонометрической таблицей или калькулятором и найдём значения, округлив до трёх знаков после запятой:

\[\mu_s < 0.577\]

Ответ: Величина трения, которая предотвращает движение груза на наклонной плоскости под углом 30 градусов, должна быть меньше 0.577.

Задача 2. Чтобы найти скорость, с которой брусок достигает конца наклонной плоскости, воспользуемся законами сохранения энергии. Выходя из предположения, что трение считается пренебрежимо малым, движение можно описывать с помощью закона сохранения механической энергии.

Общая механическая энергия \(E\) бруска на верхнем конце плоскости равна сумме его потенциальной энергии \(E_{\text{пот}}\) (относительно нижнего конца плоскости) и его кинетической энергии \(E_{\text{кин}}\):

\[E = E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}}\]

Потенциальная энергия определяется формулой \(E_{\text{пот}} = mgh\), где \(m\) - масса бруска, \(g\) - ускорение свободного падения (9,8 м/с²), \(h\) - высота плоскости.

Высота плоскости можно найти, используя формулу \(h = l \cdot \sin\alpha\), где \(l\) - длина плоскости (5 м), \(\alpha\) - угол наклона плоскости (в нашем случае, 45 градусов).

По условию задачи начальная скорость равна 0, а значит, кинетическая энергия в начальный момент времени равна нулю: \(E_{\text{кин}} = 0\).

Таким образом, общая механическая энергия на верхнем конце наклонной плоскости равна потенциальной энергии.

Перейдя к нижнему концу плоскости, энергия трансформируется в кинетическую. Используя формулу для кинетической энергии \(E_{\text{кин}} = \frac{1}{2}mv^2\), где \(v\) - скорость бруска на нижнем конце плоскости, можно записать:

\[E_{\text{пот}} = E_{\text{кин}}\]
\[mgh = \frac{1}{2}mv^2\]

Сокращаем массу \(m\) на обеих сторонах уравнения и выражаем скорость \(v\):

\[v = \sqrt{2gh}\]

Подставим значения для \(g\) и \(h\) и найдём скорость:

\[v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot (5 \cdot \sin 45^\circ)}\]

\[v \approx 9.9 \, \text{м/с}\]

Ответ: Скорость, с которой брусок достигает конца наклонной плоскости, при условии начальной скорости равной 0 и коэффициенте трения, не участвующем в движении, равна примерно 9.9 м/с.