1. На какой коэффициент нужно умножить векторы, чтобы равенство 1. ek−→−= ⋅ef−→− было верным? 2. Какой коэффициент

Обозначим вектор \( \mathbf{e} \), \( \mathbf{f} \) и коэффициенты, на которые нужно их умножить, как \( k \).

1. Чтобы равенство \( 1 \cdot \mathbf{e} = \mathbf{f} \) было верным, необходимо найти значение коэффициента \( k \). Для этого сравним соответствующие компоненты векторов:
\[
k \cdot e_1 = f_1, \quad k \cdot e_2 = f_2, \quad \dots , \quad k \cdot e_n = f_n
\]
Поскольку все компоненты должны быть равны между собой, можно записать систему уравнений:
\[
\begin{cases}
k \cdot e_1 = f_1 \\
k \cdot e_2 = f_2 \\
\dots \\
k \cdot e_n = f_n \\
\end{cases}
\]
Решим эту систему уравнений, поделив каждое уравнение на \( e_i \):
\[
\begin{cases}
k = \frac{f_1}{e_1} \\
k = \frac{f_2}{e_2} \\
\dots \\
k = \frac{f_n}{e_n} \\
\end{cases}
\]
Получаем, что все коэффициенты \( k \) равны между собой, поскольку каждое уравнение в системе имеет одно и то же значение \( k \), что исходно требовалось. Общий коэффициент \( k \) равен отношению \( f_i \) к \( e_i \), где \( i \) - любой индекс компоненты векторов \( \mathbf{e} \) и \( \mathbf{f} \).

2. Чтобы получить равенство \( 2 \cdot \mathbf{f} = \mathbf{e} \), необходимо найти значение коэффициента \( k \). Проведем аналогичные расчеты:
\[
\begin{cases}
k \cdot f_1 = e_1 \\
k \cdot f_2 = e_2 \\
\dots \\
k \cdot f_n = e_n \\
\end{cases}
\]
Решая эту систему уравнений, получаем общий коэффициент \( k \), равный отношению \( e_i \) к \( f_i \), где \( i \) - любой индекс компоненты векторов \( \mathbf{e} \) и \( \mathbf{f} \).

3. Чтобы достичь равенства \( k \cdot \mathbf{f} = \mathbf{e} \), где \( k \) - коэффициент, сравним соответствующие компоненты векторов:
\[
k \cdot f_1 = e_1, \quad k \cdot f_2 = e_2, \quad \dots , \quad k \cdot f_n = e_n
\]
Здесь мы также получаем систему уравнений:
\[
\begin{cases}
k \cdot f_1 = e_1 \\
k \cdot f_2 = e_2 \\
\dots \\
k \cdot f_n = e_n \\
\end{cases}
\]
Решая эту систему уравнений, получаем, что все коэффициенты \( k \) должны быть равны между собой, соответствуют отношению \( e_i \) к \( f_i \), где \( i \) - любой индекс компоненты векторов \( \mathbf{e} \) и \( \mathbf{f} \).