Какова сумма радиусов окружностей, вписанной и описанной вокруг треугольника со сторонами 25 см, 33 см и

47 см.

Для решения этой задачи нам понадобится использовать некоторые свойства треугольника и окружности.

Во-первых, мы знаем, что вписанная окружность треугольника касается всех трех его сторон. Поэтому, чтобы найти радиус вписанной окружности, нам нужно найти полупериметр треугольника и разделить его на площадь треугольника.

Полупериметр треугольника вычисляется по формуле:
\[s = \frac{{a+b+c}}{2}\]
где \(a\), \(b\), и \(c\) - длины сторон треугольника.

В нашем случае:
\(a = 25\) см
\(b = 33\) см
\(c = 47\) см

Вычисляем полупериметр:
\[s = \frac{{25 + 33 + 47}}{2} = \frac{{105}}{2} = 52.5\] см

Теперь нам нужно вычислить площадь треугольника. Для этого мы можем использовать формулу Герона:
\[S = \sqrt{{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}}\]
где \(S\) - площадь треугольника.

Подставим значения:
\[S = \sqrt{{52.5 \cdot (52.5 - 25) \cdot (52.5 - 33) \cdot (52.5 - 47)}}\]

Вычисляем:
\[S = \sqrt{{52.5 \cdot 27.5 \cdot 19.5 \cdot 5.5}}\]
\[S = \sqrt{{10335.9375}}\]
\[S \approx 101.67\] см²

Теперь, чтобы найти радиус вписанной окружности, мы можем использовать следующую формулу:
\[r_{\text{впис.}} = \frac{{S}}{{s}}\]
где \(r_{\text{впис.}}\) - радиус вписанной окружности, \(S\) - площадь треугольника, \(s\) - полупериметр треугольника.

Подставляем значения:
\[r_{\text{впис.}} = \frac{{101.67}}{{52.5}}\]
\[r_{\text{впис.}} \approx 1.94\] см

Теперь перейдем к описанной окружности. Мы знаем, что описанная окружность проходит через вершины треугольника. Поэтому радиус описанной окружности равен половине длины одной из сторон треугольника. В нашем случае я выберу сторону \(c\), так как она является самой длинной.

\[r_{\text{опис.}} = \frac{{c}}{{2}} = \frac{{47}}{{2}} = 23.5\] см

Наконец, чтобы найти сумму радиусов вписанной и описанной окружностей, нам нужно просто сложить их значения:

\[r_{\text{сумма}} = r_{\text{впис.}} + r_{\text{опис.}} = 1.94 + 23.5 = 25.44\] см

Таким образом, сумма радиусов вписанной и описанной окружностей вокруг данного треугольника равна примерно 25.44 см.