1) Можно найти бесконечное количество натуральных чисел N, для которых возможно построение правильного многоугольника

1) Да, можно найти бесконечное количество натуральных чисел N, для которых возможно построение правильного многоугольника на плоскости. Для того чтобы построить правильный многоугольник, количество его сторон должно быть делителем 360 градусов (полного оборота). Так как 360 имеет много делителей, например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 и 360, то мы можем построить правильные многоугольники с любым из этих числом сторон.

2) Также имеется бесконечный набор натуральных чисел N, для которых возможно построение правильного многогранника в пространстве. Для построения правильных многогранников мы можем использовать платоновские тела, такие как тетраэдр (4 грани), гексаэдр или куб (6 граней), октаэдр (8 граней), додекаэдр (12 граней) и икосаэдр (20 граней). Было доказано, что существует бесконечное количество правильных многогранников, используя эти платоновские тела и их комбинации.

3) Нет, существует больше пяти многоугольников с одинаковым числом граней и правильной формой. Пентагонов, например, можно построить бесконечное количество, каждый из них будет иметь одинаковое количество граней и правильную форму. Точно так же, как указано в предыдущем ответе, существует бесконечное количество возможных многоугольников с одинаковым числом сторон.

4) Да, это верно. Если соединить центры граней октаэдра - 8-гранного многогранника, в определенном порядке отрезками, то мы можем получить куб - 6-гранник. Для этого соединим центры граней октаэдра таким образом: соединим центры противоположных граней октэдра, получим 4 отрезка, они образуют ромб. Затем соединяем центры смежных вершин ромба и получаем куб.

5) Нет, додекаэдр не является многоугольником, поскольку он имеет фиксированное количество граней, ребер и вершин. Додекаэдр - это правильный многогранник с 12 гранями, каждая из которых является равносторонним треугольником. Он не может быть представлен в виде многоугольника, так как его форма трехмерна и более сложная.