1. Можно ли поделить число а на 37, если а) а = (333555^2 + 222444^3) б) а = (777666^4 + 888333^5) 2. Можно ли число

Конечно, давайте решим эти задачи шаг за шагом, чтобы всё было понятно.

1. Первая задача:
а) Имеем а = (333555^2 + 222444^3)
Для того чтобы определить, можно ли это число поделить на 37, нужно проверить, делится ли оно на 37 без остатка. Для этого давайте рассмотрим остаток от деления числа а на 37.
\[a \mod 37 = (333555^2 + 222444^3) \mod 37\]

Разложим числа на множители и заменим их остатками при делении на 37. Также воспользуемся свойством остатка от деления суммы: \((x+y) \mod n = (x \mod n + y \mod n) \mod n\).
\[333555^2 \mod 37 = (333 \cdot 37 + 6)^2 \mod 37 = [(333 \cdot 37)^2 + 2 \cdot 333 \cdot 37 \cdot 6 + 6^2] \mod 37 = 6^2 \mod 37 = 36 \mod 37 = 36\]
\[222444^3 \mod 37 = (222 \cdot 37 + 30)^3 \mod 37 = [(222 \cdot 37)^3 + 3 \cdot (222 \cdot 37)^2 \cdot 30 + 3 \cdot (222 \cdot 37) \cdot 30^2 + 30^3] \mod 37 = 30^3 \mod 37 = 30 \mod 37 = 30\]

Подставим значения остатков обратно в исходное выражение:
\[a \mod 37 = (36 + 30) \mod 37 = 66 \mod 37 = 29\]

Остаток от деления числа а на 37 равен 29. Так как этот остаток не равен нулю, то число а не делится на 37 без остатка.
Следовательно, нельзя поделить число а = (333555^2 + 222444^3) на 37.

б) Имеем а = (777666^4 + 888333^5)
Аналогичным образом рассмотрим остаток от деления числа а на 37:
\[a \mod 37 = (777666^4 + 888333^5) \mod 37\]

Выполним разложение чисел на множители и заменим их остатками при делении на 37:
\[777666^4 \mod 37 = (777 \cdot 37 + 15)^4 \mod 37 = [(777 \cdot 37)^4 + 4 \cdot (777 \cdot 37)^3 \cdot 15 + 6 \cdot (777 \cdot 37)^2 \cdot 15^2 + 4 \cdot (777 \cdot 37) \cdot 15^3 + 15^4] \mod 37 = 15^4 \mod 37 = 19 \mod 37 = 19\]
\[888333^5 \mod 37 = (888 \cdot 37 + 9)^5 \mod 37\] (Continued...)