1. Какую среднюю скорость движения бруска с момента удара до остановки можно найти, если брусок лежит на гладком полу

1. Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать законы сохранения энергии и импульса.

Сначала найдем упругую потенциальную энергию пружины, которая хранится в деформации. По закону Гука, упругая потенциальная энергия пружины \( E_к = \frac{1}{2} k x^2 \), где \( k \) - жесткость пружины, а \( x \) - деформация пружины.

Затем найдем кинетическую энергию бруска до удара и после его остановки. Для этого воспользуемся формулой \( E_{к}= \frac{1}{2} m v^2 \), где \( m \) - масса бруска, а \( v \) - его скорость.

По закону сохранения импульса вдоль оси пружины, импульс бруска до удара будет равен импульсу бруска после его остановки. То есть \( m V_0 = m V_{кон} \), где \( V_0 \) - начальная скорость бруска, а \( V_{кон} \) - его скорость после остановки.

Используя эти уравнения, мы можем найти массу бруска и его конечную скорость:

1) Найдем массу:
\[ m = \frac{2 E_к}{V_0^2} \]

2) Найдем конечную скорость:
\[ V_{кон} = \frac{V_0}{2} \]

Теперь мы можем решить задачу. Подставляем значения и рассчитываем:

Для начальной скорости \( V_0 = 2\pi \ м/с \), жесткости пружины \( k = 300 \ H/м \).

1) Рассчитаем упругую потенциальную энергию пружины:
\[ E_к = \frac{1}{2} k x^2 \]
Поскольку брусок останавливается, деформация пружины \( x = L \), где \( L \) - длина пружины.
\[ E_к = \frac{1}{2} k L^2 \]

2) Рассчитаем массу бруска:
\[ m = \frac{2 E_к}{V_0^2} \]
\[ m = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} k L^2}{V_0^2} \]
\[ m = \frac{k L^2}{V_0^2} \]

3) Рассчитаем конечную скорость:
\[ V_{кон} = \frac{V_0}{2} \]
\[ V_{кон} = \frac{2\pi}{2} = \pi \ м/с \]

Ответ: средняя скорость движения бруска с момента удара до остановки составляет примерно \( \pi \) [м/с].

2. Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся законом Гука для пружины и законом сохранения энергии.

Сначала найдем уравнение, связывающее жесткость пружины \( \kappa \), смещения пружины \( x \), и силы \( F \), действующей на пружину: \( F = \kappa x \).

Затем воспользуемся законом сохранения энергии. Потенциальная энергия пружины, связанная с ее деформацией, должна быть равна потенциальной энергии, связанной с поднятием массы пластинок.

Потенциальная энергия пружины: \( E_{\text{пружины}} = \frac{1}{2} \kappa x^2 \).

Потенциальная энергия двух пластинок: \( E_{1} = m_{1} g h_{1} \), \( E_{2} = m_{2} g h_{2} \), где \( m_{1} \) и \( m_{2} \) - массы пластинок, \( g \) - ускорение свободного падения, \( h_{1} \) и \( h_{2} \) - высоты поднятия пластинок.

Поскольку потенциальная энергия переходит в потенциальную энергию, то \( \frac{1}{2} \kappa x^2 = m_{1} g h_{1} + m_{2} g h_{2} \).

При этом из геометрических соображений ясно, что смещение пружины \( x \) равно сумме высот поднятия пластинок: \( x = h_{1} + h_{2} \).

Таким образом, получаем уравнение: \( \frac{1}{2} \kappa (h_{1} + h_{2})^2 = m_{1} g h_{1} + m_{2} g h_{2} \).

Отсюда мы можем выразить одну из масс пластинок через другую. Рассмотрим случай, когда \( m_{1} > m_{2} \).

1) Выразим \( h_{2} \):
\[ h_{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \kappa (h_{1} + h_{2})^2 - m_{1} g h_{1} \right) \times \frac{2}{m_{2} g} \]

2) Разложим в квадрат скобку:
\[ h_{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \kappa (h_{1} + h_{2})^2 - m_{1} g h_{1} \right) \times \frac{2}{m_{2} g} \]
\[ h_{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \kappa (h_{1} + h_{2})^2 - m_{1} g h_{1} \right) \times \frac{2}{m_{2} g} \]
\[ h_{2} = \frac{1}{4} \left( \kappa (h_{1} + h_{2})^2 - 2 m_{1} g h_{1} \right) \times \frac{1}{m_{2} g} \]
\[ h_{2} = \frac{\kappa}{4 m_{2} g} (h_{1} + h_{2})^2 - \frac{1}{2 m_{2}} (h_{1} + h_{2}) \]

3) Подставляем \( h_{1} + h_{2} = x \):
\[ h_{2} = \frac{\kappa}{4 m_{2} g} x^2 - \frac{1}{2 m_{2}} x \]

Таким образом, мы получили уравнение для выражения высоты поднятия \( h_{2} \) через смещение пружины \( x \) и другие величины.

Если вам нужно выразить массу первой пластинки через \( m_{2} \), \( \kappa \), \( g \) и \( x \), вы можете использовать следующее уравнение:
\[ m_{1} = \frac{\frac{1}{2} \kappa x^2 - m_{2} g x}{g x} \]

Обратите внимание, что в этом уравнении нужно использовать только положительные значения для масс.

Теперь мы можем решить задачу. Подставьте указанные значения \( \kappa = 300 \ H/м \) и рассчитайте массы пластинок с помощью уравнений, указанных выше.