1. Какую максимальную скорость может достигнуть автомобиль при движении по горизонтальной дороге, если двигается в гору

Для решения данной задачи, давайте сначала рассмотрим общий случай. Пусть скорость автомобиля при движении в гору равна \(v_1\), а скорость при движении с горы равна \(u\).

Для определения максимальной скорости автомобиля при движении по горизонтальной дороге, необходимо учесть силу трения, обусловленную сопротивлением воздуха. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости автомобиля. Пусть эта сила равна \(F\).

Таким образом, сумма всех сил, действующих на автомобиль при движении в гору, будет равна силе сопротивления воздуха \(F\) и силе двигателя \(P_1\):
\[F + P_1 = 0.\]

Аналогично, для движения с горы:
\[F - P_2 = 0,\]
где \(P_2\) - мощность двигателя при движении с горы.

Так как двигатель работает на свою максимальную мощность в обоих случаях, \(P_1 = P_2 = P\).

Подставим значения силы сопротивления воздуха \(F = k \cdot v^2\), где \(k\) - коэффициент пропорциональности, а \(v\) - скорость автомобиля.

Также, мощность двигателя \(P\) можно выразить через силу сопротивления воздуха:
\[P = F \cdot v.\]

Подставляя эти значения в уравнения для движения в гору и с горы, получим:
\[k \cdot v_1^3 = P \quad \text{(1)}\]
\[k \cdot u^3 = P \quad \text{(2)}\]

Выразим \(P\) из уравнения (1):
\[P = k \cdot v_1^3.\]

Подставим это значение в уравнение (2) и решим его относительно скорости \(u\):
\[k \cdot u^3 = k \cdot v_1^3.\]
\[u^3 = v_1^3.\]
\[u = v_1.\]

Таким образом, получаем, что максимальная скорость автомобиля при движении по горизонтальной дороге, используя коробку передач, будет равна скорости при движении в гору:
\[u = v_1.\]

Теперь рассмотрим частный случай, когда \(v_1 = 0\), то есть автомобиль движется только с горы. В этом случае максимальная скорость будет равна \(u\).

В общем случае, максимальная скорость равна \(u\), если автомобиль движется только с горы, и равна \(v_1\), если автомобиль перемещается в гору со скоростью \(v_1\).

Данный ответ содержит пошаговое решение задачи, включает обоснование и рассмотрение как общего, так и частного случая.