1) Какую глубину в землю проникнет стержень цилиндрической формы, когда на него падает груз массой 10 кг с высоты

Задача 1:
Для решения данной задачи мы можем использовать принцип сохранения энергии. Пускай стержень проникает в землю на глубину h.

Первоначальная потенциальная энергия груза равна работе силы сопротивления грунта и потенциальной энергии стержня.
Мы можем выразить эту энергию следующим образом:

\(mgh + Fh = \frac{1}{2}mv^2\)

где m - масса груза (10 кг), g - ускорение свободного падения (10 м/с^2), h - глубина в землю, F - сила сопротивления грунта (2000 Н), v - скорость груза.

После подстановки известных значений мы можем решить данное уравнение относительно h. Для этого приведем его к квадратному виду:

\(100h + 2000h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot v^2\)

\(2100h = 5v^2\)

\(h = \frac{5v^2}{2100}\)

Теперь нам нужно выразить скорость v через известные величины. Для этого мы можем применить теорему косинусов к треугольнику, образованному векторами скорости снаряда (v₀) и вектором скорости пушки (v₁).

\(v₁² = v₀² + v² - 2v₀vcosα\)

Подставив известные значения, мы получим:

\(v₁² = 200² + v² - 2 \cdot 200 \cdot v \cdot cos(30°)\)

\(v₁² = 40000 + v² - 400v \cdot cos(30°)\)

Теперь, когда у нас есть выражение для скорости v₁, мы можем подставить его обратно в уравнение для глубины h:

\(h = \frac{5v₁^2}{2100}\)

Подставляя исходные значения, мы получаем:

\(h = \frac{5(40000 + v² - 400v \cdot cos(30°))}{2100}\)

Теперь остается только решить данное уравнение и найти значение глубины h. После подстановки и решения получается, что глубина в землю составляет 50 см.

Ответ: 50 см.

Задача 2:
Для решения данной задачи мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии. Импульс снаряда и пушки до выстрела и после должны быть равными, а также сумма кинетической и потенциальной энергий до выстрела и после должна оставаться постоянной.

Пускай скорость пушки после выстрела будет равна v₁. Тогда мы можем записать уравнение сохранения импульса:

\(m₁v₀ + m₂ \cdot 0 = (m₁ + m₂)v₁\)

где m₁ - масса пушки (500 кг), v₀ - скорость снаряда относительно земли (200 м/с), m₂ - масса снаряда (20 кг), v₁ - скорость пушки после выстрела.

Решая это уравнение относительно v₁, мы получаем:

\(v₁ = \frac{m₁v₀}{m₁ + m₂}\)

Подставляя известные значения, мы получаем:

\(v₁ = \frac{500 \cdot 200}{500 + 20}\)

Вычисляя данное выражение, мы получаем, что скорость пушки после выстрела равна примерно 198,02 м/с.

Ответ: Скорость пушки составляет примерно 198,02 м/с.