1. Какую емкость должен иметь конденсатор в цепи, состоящей из активного сопротивления 30 кОм и импеданса 50 кОм, когда

1. Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для импеданса конденсатора в цепи переменного тока:

\[Z_C = \dfrac{1}{j \omega C}\]

где:
\(Z_C\) - импеданс конденсатора,
\(j\) - мнимая единица (\(j = \sqrt{-1}\)),
\(\omega\) - угловая частота (\(\omega = 2\pi f\)),
\(C\) - емкость конденсатора.

В данной задаче у нас задана угловая частота \(f = 1 \, \text{МГц} = 10^6 \, \text{Гц}\), и активное сопротивление \(R = 30 \, \text{кОм} = 30 \times 10^3 \, \text{Ом}\).

Так как \(Z_C\) и \(R\) являются комплексными числами, мы можем сложить их для получения эквивалентного импеданса \(Z_{\text{экв}}\) всей цепи:

\[Z_{\text{экв}} = Z_C + R\]

Теперь мы можем найти \(Z_C\), заменив \(Z_{\text{экв}}\) и \(R\) в данной формуле:

\[Z_C = Z_{\text{экв}} - R\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[Z_C = (50 \, \text{кОм} \, + \, 30 \, \text{кОм}) - 30 \, \text{кОм} = 50 \, \text{кОм}\]

Таким образом, чтобы иметь конденсатор с нужной емкостью в данной цепи, его емкость должна быть равной \(50 \, \text{кОм}\).

2. Для решения этой задачи мы будем использовать формулу резонансной частоты \(f_0\) в RLC-цепи:

\[f_0 = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\]

где:
\(f_0\) - резонансная частота,
\(L\) - индуктивность катушки,
\(C\) - емкость конденсатора.

В данной задаче у нас задана индуктивность \(L = 0,2 \, \text{мГн} = 0,2 \times 10^{-3} \, \text{Гн}\) и емкость \(C = 2 \, \text{мкФ} = 2 \times 10^{-6} \, \text{Ф}\).

Подставляя известные значения в формулу, получаем:

\[f_0 = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{(0,2 \times 10^{-3} \, \text{Гн}) \times (2 \times 10^{-6} \, \text{Ф})}}\]

Рассчитываем резонансную частоту \(f_0\):

\[f_0 = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{0,4 \times 10^{-9} \, \text{ГнФ}}}\]

Далее решаем математическое выражение:

\[f_0 = \dfrac{1}{2\pi \times 0,00002 \, \text{Гн}} \approx 7,96 \, \text{МГц}\]

Таким образом, сила тока в цепи достигнет максимального значения при частоте \(f_0 \approx 7,96 \, \text{МГц}\), если амплитуда напряжения остается постоянной.

3. В этой задаче дано уравнение для напряжения U в цепи в зависимости от времени t: \(U = 60\sin(314t)\), где \(t\) - время в секундах.

Мы можем найти силу тока I в цепи, используя закон Ома:

\[I = \dfrac{U}{Z_{\text{экв}}}\]

где:
\(I\) - сила тока,
\(U\) - напряжение,
\(Z_{\text{экв}}\) - эквивалентный импеданс цепи.

В данном случае активное сопротивление не указано, поэтому предположим, что оно равно нулю.

Таким образом, \(Z_{\text{экв}} = Z_C = \dfrac{1}{j \omega C}\).

Теперь мы можем найти силу тока I:

\[I = \dfrac{U}{Z_C} = \dfrac{U}{\dfrac{1}{j \omega C}} = U \times j \omega C = 60\sin(314t) \times j \times 314 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-6}\]

\(I\) равно:

\[I = 0,120j\sin(314t) \, \text{А}\]

Таким образом, напряжение и сила тока в цепи меняются по закону \(U = 60\sin(314t)\) и \(I = 0,120j\sin(314t) \, \text{А}\) соответственно.