1) Какой радиус сечения сферы, если плоскость пересекает сферу радиуса 8 см на расстоянии 5 см от её центра? 2) Чему

1) Для решения данной задачи воспользуемся свойством пересечения плоскости сферы. Когда плоскость пересекает сферу, образуется окружность, которая называется сечением сферы. Радиус этой окружности будет равен расстоянию от центра сферы до плоскости пересечения.

Радиус сечения можно найти по формуле: \[r = \sqrt{R^2 - d^2}\], где \(R\) - радиус сферы, \(d\) - расстояние от центра сферы до плоскости пересечения.

В данной задаче известны радиус сферы \(R = 8\) см и расстояние от центра сферы до плоскости пересечения \(d = 5\) см. Подставим значения в формулу и выполним вычисления:

\[r = \sqrt{8^2 - 5^2} = \sqrt{64 - 25} = \sqrt{39} \approx 6.24 \text{ см}\]

Таким образом, радиус сечения сферы равен примерно 6.24 см.

2) Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора для правильного конуса. Согласно этой теореме, сумма квадратов высоты \(h\) и радиуса образующей \(l\) равна квадрату радиуса основания \(R\).

Таким образом, у нас есть следующие данные:

Высота \(h = 2\sqrt{3}\) см
Образующая \(l = 4\sqrt{3}\) см

Мы должны найти диаметр основания \(d\).
\[R^2 = l^2 - h^2\]
\[R^2 = (4\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2\]
\[R^2 = 48 - 12 = 36\]
\[R = 6\]

Диаметр основания конуса равен удвоенному радиусу \(d = 2R = 2 \cdot 6 = 12\) см.

3) Чтобы найти площадь полной поверхности отсеченного конуса, нужно вычесть площадь отсеченной части поверхности из полной поверхности конуса.

Площадь полной поверхности конуса равна 240 и параллельно основанию проведено сечение, делящее высоту пополам. Таким образом, основание отсеченного конуса будет подобно основанию исходного конуса, а его высота будет равна половине высоты исходного конуса.

Известно, что площадь полной поверхности конуса равна 240. Пусть \(S_1\) - площадь полной поверхности отсеченного конуса, \(S_2\) - площадь полной поверхности исходного конуса, \(h\) - высота исходного конуса, \(h_1\) - высота отсеченного конуса.

Тогда мы можем записать следующее уравнение:

\[S_2 = S_1 + \pi r l\], где \(r\) - радиус отсеченного конуса, \(l\) - образующая конуса

Подставим известные значения в уравнение:

\[240 = S_1 + \pi r \cdot 4\sqrt{3}\]

Также из условия задачи известно, что высота отсеченного конуса \(h_1 = \frac{1}{2}h = \sqrt{3}\) (так как высота исходного конуса \(h = 2\sqrt{3}\)).

Площадь поверхности отсеченного конуса может быть найдена по формуле: \[S_1 = \pi R l_1\], где \(R\) - радиус исходного конуса, \(l_1\) - новая образующая отсеченного конуса.

Таким образом, получаем следующее уравнение:

\[S_1 = \pi \cdot 6 \cdot l_1\]

Мы знаем, что \(l_1^2 = R^2 - h_1^2\), подставим значения:

\[S_1 = \pi \cdot 6 \cdot \sqrt{6^2 - (\sqrt{3})^2} = 6\pi\sqrt{33}\]

Теперь мы можем решить уравнение для \(S_1\) и найти его значение:

\[240 = 6\pi\sqrt{33} + \pi \cdot r \cdot 4\sqrt{3}\]

Выразим \(r\):

\[240 - 6\pi\sqrt{33} = 4\pi r\sqrt{3}\]

\[r = \frac{240 - 6\pi\sqrt{33}}{4\pi\sqrt{3}}\]

\[r \approx 5.33\]

Таким образом, радиус отсеченного конуса примерно равен 5.33.

Теперь, когда у нас есть радиус отсеченного конуса, мы можем вычислить площадь полной поверхности (отсеченного) конуса:

\[S_1 = \pi \cdot r \cdot l_1 = \pi \cdot 5.33 \cdot 2\sqrt{3} \approx 33.69\]

Площадь полной поверхности отсеченного конуса равна примерно 33.69.

4) Для вычисления площади боковой поверхности цилиндра, если задана длина окружности его основания \(C\), используется формула:

\[S = C \cdot h\], где \(C\) - длина окружности основания, \(h\) - высота цилиндра.

Стоит отметить, что боковая поверхность цилиндра представляет собой развернутый боковой контур основания, и ее формула будет такой же, как и для окружности.

Таким образом, чтобы вычислить площадь боковой поверхности цилиндра, нам нужно знать длину окружности основания \(C\). Если эта величина известна, мы можем ее использовать в формуле для расчета.

5) Площадь круга можно вычислить по формуле:

\[S = \pi r^2\], где \(r\) - радиус круга.

Если диаметр круга известен, радиус можно найти, разделив диаметр на 2:

\[r = \frac{d}{2}\]

Таким образом, чтобы найти площадь круга с данным диаметром \(d\), мы должны сначала найти радиус (разделить диаметр на 2), а затем использовать формулу для расчета площади круга.