1) Какой путь будет пройден точкой, когда она достигнет координаты x = 0, если движение материальной точки задано

1) Для определения пути, пройденного точкой при достижении координаты \(x = 0\), необходимо решить уравнение \(x = 3t^2 - t^3\) относительно времени \(t\).

Данное уравнение задает кривую движения материальной точки. Чтобы найти путь, приравняем \(x\) к нулю и решим уравнение:

\[0 = 3t^2 - t^3\]

Для решения этого уравнения выражаем его в виде:

\[t^3 - 3t^2 = 0\]

Факторизуем:

\[t^2(t - 3) = 0\]

Таким образом, получаем два возможных значения \(t\): \(t = 0\) и \(t = 3\).

Подставим полученные значения времени в исходное уравнение \(x = 3t^2 - t^3\) и найдем соответствующие значения \(x\).

При \(t = 0\) имеем:

\[x = 3(0)^2 - (0)^3 = 0\]

При \(t = 3\) имеем:

\[x = 3(3)^2 - (3)^3 = 27 - 27 = 0\]

Таким образом, точка достигнет координаты \(x = 0\) дважды - в моменты времени \(t = 0\) и \(t = 3\). Путь, пройденный точкой, составит 0 метров.

2) Для определения скорости релятивистской частицы массы \(m\), движущейся с импульсом \(1,5mc\), воспользуемся формулой для связи импульса и скорости в теории относительности:

\[p = \gamma m v\]

Где \(p\) - импульс, \(m\) - масса частицы, \(v\) - скорость, \(\gamma\) - фактор Лоренца:

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\]

Где \(c\) - скорость света, \(c \approx 3 \times 10^8 \, \frac{м}{с}\).

Используя данную формулу, подставим импульс \(p = 1,5mc\):

\[1,5mc = \gamma m v\]

Деля обе части уравнения на \(m\), получаем:

\[1,5c = \gamma v\]

Далее, выражаем скорость \(v\):

\[v = \frac{1,5c}{\gamma}\]

Остается определить фактор Лоренца \(\gamma\). Подставим полученное \(v\) в формулу для фактора Лоренца:

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\left(\frac{1,5c}{\gamma}\right)^2}{c^2}}}\]

Упростим данное выражение:

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2,25}{\gamma^2}}}\]

Возведем данное уравнение в квадрат:

\[\gamma^2 = \frac{1}{1 - \frac{2,25}{\gamma^2}}\]

Умножим обе части уравнения на \(\left(1 - \frac{2,25}{\gamma^2}\right)\):

\[\gamma^2\left(1 - \frac{2,25}{\gamma^2}\right) = 1\]

Распишем скобки:

\[\gamma^2 - 2,25 = 1\]

Теперь можем найти фактор Лоренца \(\gamma\):

\[\gamma^2 = 3,25\]

\[\gamma = \sqrt{3,25} \approx 1,8\]

Подставляем найденное значение фактора Лоренца в выражение для скорости:

\[v = \frac{1,5c}{\gamma} = \frac{1,5 \times 3 \times 10^8}{1,8} \approx 2,5 \times 10^8 \, \frac{м}{с}\]

Таким образом, скорость релятивистской частицы будет примерно равна \(2,5 \times 10^8 \, \frac{м}{с}\).

3) Для нахождения импульса образовавшегося тела после столкновения двух движущихся тел, воспользуемся законом сохранения импульса.

Имеем модули импульсов тел до столкновения равными \(0,346 \, \text{кг} \, \text{м/с}\) и угол между векторами импульсов \(60^\circ\).

Запишем закон сохранения импульса для каждой из компонент импульса (горизонтальной и вертикальной):

\[p_{1x} + p_{2x} = p_{1"x} + p_{2"x}\]

\[p_{1y} + p_{2y} = p_{1"y} + p_{2"y}\]

Где индекс 1 относится к первому телу до столкновения, индекс 2 - ко второму телу до столкновения, индекс с " - к соответствующему телу после столкновения.

Данное уравнение имеет две неизвестные величины - компоненты импульса образовавшегося тела \(p_{1"x}\), \(p_{1"y}\). Чтобы решить систему уравнений, воспользуемся тригонометрическими соотношениями:

\[p_{1x} = p_{1} \cos \theta\]

\[p_{1y} = p_{1} \sin \theta\]

\[p_{2x} = p_{2} \cos \phi\]

\[p_{2y} = p_{2} \sin \phi\]

Где \(p_{1}\) и \(p_{2}\) - модули импульсов тел до столкновения, а \(\theta\) и \(\phi\) - углы, образуемые векторами импульсов с положительным направлением оси \(x\).

Подставив данные выражения в закон сохранения импульса, получим:

\[p_{1} \cos \theta + p_{2} \cos \phi = p_{1"}\]

\[p_{1} \sin \theta + p_{2} \sin \phi = p_{2"}\]

Так как после столкновения тела становятся абсолютно неупругими, то модули их импульсов складываются:

\[p_{1"} = p_{1} + p_{2}\]

Подставляя это в уравнения закона сохранения импульса, получаем:

\[p_{1} \cos \theta + p_{2} \cos \phi = p_{1} + p_{2}\]

\[p_{1} \sin \theta + p_{2} \sin \phi = p_{2}\]

Упростим данные уравнения:

\[\cos \theta + \cos \phi = 1\]

\[\sin \theta + \sin \phi = 1\]

Таким образом, мы получили систему нелинейных уравнений, которую можно решить геометрически или численными методами для определения значений \(\theta\) и \(\phi\). Используя найденные углы, можно определить модули импульсов образовавшегося тела через треугольник с размерами сторон \(0,346\) и углом \(60^\circ\) с помощью законов синусов и косинусов.