1. Какой объем имеет первый конус, если радиус второго конуса в 3 раза больше радиуса первого конуса, а высота второго

Задача 1.

Для начала, чтобы решить данную задачу, мы должны знать формулу для объема конуса. Объем конуса равен \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\), где \(r\) - радиус конуса, \(h\) - высота конуса.

В нашем случае, предположим, что объем первого конуса равен \(V_1\) и радиус первого конуса равен \(r_1\), высота первого конуса равна \(h_1\). Также, радиус второго конуса в 3 раза больше радиуса первого конуса (\(r_2 = 3r_1\)), а высота второго конуса в 6 раз меньше высоты первого конуса (\(h_2 = \frac{1}{6} h_1\)).

Мы также знаем, что объем второго конуса равен 18 (\(V_2 = 18\)). Мы хотим найти объем первого конуса (\(V_1\)).

Мы можем записать уравнение для каждого конуса:

Для первого конуса: \(V_1 = \frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1\)

Для второго конуса: \(V_2 = \frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2\)

Подставим значения, которые нам даны:

Уравнение для первого конуса: \(V_1 = \frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1\)

Уравнение для второго конуса: \(18 = \frac{1}{3}\pi (3r_1)^2 (\frac{1}{6} h_1)\)

Сократим значения и упростим уравнение:

\(V_1 = \frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1\)

\(18 = \frac{1}{3}\pi 9r_1^2 \frac{1}{6} h_1\)

Домножим значение объема второго конуса на 3, чтобы избавиться от дробной части:

\(54 = \pi 9r_1^2 \frac{1}{6} h_1\)

Домножим значение радиуса и высоты первого конуса на 6, чтобы избавиться от дробной части:

\(54 = \pi 54r_1^2 h_1\)

Теперь делим обе стороны уравнения на \(\pi 54\) для того, чтобы изолировать \(r_1^2 h_1\):

\(\frac{54}{\pi 54} = r_1^2 h_1\)

Упростим:

\(1 = r_1^2 h_1\)

Теперь мы видим, что \(r_1^2 h_1 = 1\).

Чтобы найти объем первого конуса (\(V_1\)), мы можем подставить данное уравнение в формулу объема конуса:

\(V_1 = \frac{1}{3}\pi (r_1^2 h_1)\)

\(V_1 = \frac{1}{3}\pi \cdot 1\)

\(V_1 = \frac{1}{3}\pi\)

Итак, объем первого конуса равен \(\frac{1}{3}\pi\).

Задача 2.

Для решения этой задачи, мы должны знать формулу для объема призмы. Объем призмы вычисляется как произведение площади основания на высоту призмы.

В нашем случае, предположим, что объем призмы ABCA1B1C1 равен \(V\), сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 3 и высота этой призмы равна \(4\sqrt{3}\). Мы хотим найти объем призмы (\(V\)).

Формула для объема призмы: \(V = \text{площадь основания} \times \text{высота}\)

У нас имеется правильный треугольник ABC со стороной 3. Площадь такого треугольника вычисляется по формуле:

\(\text{площадь} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{сторона})^2\)

Подставляя значения, которые нам даны:

\(\text{площадь} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (3)^2\)

\(\text{площадь} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9\)

\(\text{площадь} = \frac{9\sqrt{3}}{4}\)

Теперь мы можем вычислить объем призмы:

\(V = \text{площадь основания} \times \text{высота}\)

\(V = \frac{9\sqrt{3}}{4} \times 4\sqrt{3}\)

\(V = \frac{36\sqrt{3}}{4} \times \sqrt{3}\)

\(V = \frac{36 \cdot 3}{4}\)

\(V = 108\)

Итак, объем призмы ABCA1B1C1 равен 108.