1. Каковы изменения энергии системы после того, как два конденсатора одинаковой электроемкости, заряженные до 100

на сопротивлении r3 в 3 раза больше падения потенциала на r2. Найдите сопротивления r1, r2 и r3.

1. Изменение энергии системы после объединения двух конденсаторов в последовательное соединение можно определить по формуле:

\[
\Delta E = \frac{{C_1 \cdot V_1^2}}{2} + \frac{{C_2 \cdot V_2^2}}{2} - \left(\frac{{C_1 \cdot V_1}}{{C_{\text{eq}}} }\right)^2 \cdot \frac{{C_{\text{eq}}}}{{2}} - \left(\frac{{C_2 \cdot V_2}}{{C_{\text{eq}}} }\right)^2 \cdot \frac{{C_{\text{eq}}}}{{2}}
\]

где \(C_1\) и \(C_2\) - электроемкости двух конденсаторов, \(V_1\) и \(V_2\) - напряжения на этих конденсаторах, \(C_{\text{eq}}\) - эквивалентная электроемкость последовательного соединения. Подставляя значения, получим:

\[
\Delta E = \frac{{C_1 \cdot V_1^2}}{2} + \frac{{C_2 \cdot V_2^2}}{2} - \left(\frac{{C_1 \cdot V_1}}{{C_1 + C_2}}\right)^2 \cdot \frac{{C_1 + C_2}}{{2}} - \left(\frac{{C_2 \cdot V_2}}{{C_1 + C_2}}\right)^2 \cdot \frac{{C_1 + C_2}}{{2}}
\]

Подставляя значения \(C_1 = C_2 = C = 100 \, \text{Ф}\), \(V_1 = 100 \, \text{В}\), \(V_2 = 200 \, \text{В}\), получим:

\[
\Delta E = \frac{{100 \cdot 100^2}}{2} + \frac{{100 \cdot 200^2}}{2} - \left(\frac{{100 \cdot 100}}{{100 + 100}}\right)^2 \cdot \frac{{100 + 100}}{{2}} - \left(\frac{{100 \cdot 200}}{{100 + 100}}\right)^2 \cdot \frac{{100 + 100}}{{2}}
\]

Расчитывая это выражение, найдем изменение энергии системы после соединения конденсаторов.

2. Для расчета разности потенциалов между пластинами конденсатора воспользуемся формулой для работы тока:

\[
Q = C \cdot \Delta V
\]

где \(Q\) - заряд на конденсаторе, \(C\) - электроемкость конденсатора, \(\Delta V\) - изменение разности потенциалов на конденсаторе. Дано, что выделилось теплоты \(Q = 4,19 \times 10^{-3} \, \text{Дж}\). Подставляя значения, получим:

\[
4,19 \times 10^{-3} \, \text{Дж} = C \cdot \Delta V
\]

Так как \(C = \frac{\varepsilon_0 \cdot S}{d}\), где \(\varepsilon_0\) - электрическая постоянная, \(S\) - площадь пластин конденсатора, \(d\) - расстояние между пластинами, можно переписать формулу как:

\[
4,19 \times 10^{-3} \, \text{Дж} = \frac{\varepsilon_0 \cdot S}{d} \cdot \Delta V
\]

Подставляя значения \(S = 100 \, \text{см}^2 = 10^{-3} \, \text{м}^2\), \(d = 5 \, \text{мм} = 5 \times 10^{-3} \, \text{м}\), получим:

\[
4,19 \times 10^{-3} \, \text{Дж} = \frac{8,85 \times 10^{-12} \cdot 10^{-3}}{5 \times 10^{-3}} \cdot \Delta V
\]

Решая это уравнение относительно \(\Delta V\), найдем требуемую разность потенциалов.

3. Используем закон Ома для нахождения сопротивлений. Согласно закону Ома, разность потенциалов на резисторе связана с его сопротивлением следующим образом:

\[U = I \cdot R\]

Также, из условия задачи известно, что падение потенциала на \(r_1\) равно 10 В и вдвое больше падения потенциала на \(r_2\), а падение потенциала на \(r_3\) в 3 раза больше падения потенциала на \(r_2\).

Пусть \(U_{r1}\) - падение потенциала на \(r1\), \(U_{r2}\) - падение потенциала на \(r2\), \(U_{r3}\) - падение потенциала на \(r3\).

Тогда условие задачи можно записать в виде системы уравнений:

\[
\begin{cases}
U_{r1} = 10\,\text{В} \\
U_{r1} = 2 \cdot U_{r2}\\
U_{r3} = 3 \cdot U_{r2}
\end{cases}
\]

Также известно, что \(U_{\text{бат}} = e1 = 25 \,\text{В}\), где \(U_{\text{бат}}\) - напряжение батареи.

Теперь найдем сопротивления. Для этого воспользуемся формулой:

\[R = \frac{U}{I}\]

Подставим значения в систему уравнений:

\[
\begin{cases}
10\,\text{В} = I \cdot r_1 \\
10\,\text{В} = 2 \cdot I \cdot r_2 \\
30\,\text{В} = 3 \cdot I \cdot r_2
\end{cases}
\]

Из первого уравнения найдем \(I = \frac{10}{r_1}\).

Подставим это значение во второе уравнение:

\[10\,\text{В} = 2 \cdot \left(\frac{10}{r_1}\right) \cdot r_2\]

Упростив выражение, получим:

\[\frac{r_1}{r_2} = 2\]

Подставим второе и третье уравнения в выражение для \(I\):

\[30\,\text{В} = 3 \cdot \left(\frac{10}{r_1}\right) \cdot r_2\]

Упростив, получим:

\[r_1 \cdot r_2 = 10\]

Из этих двух уравнений, используя метод подстановки или исключения, получаем значения \(r_1\), \(r_2\) и \(r_3\).