1) Каковы длины диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 4 см и 2 см, а угол между ними составляет 120°?

1) Для нахождения длин диагоналей параллелограмма, мы можем использовать теорему косинусов. Для начала, нам понадобится найти длину третьей стороны параллелограмма.

Используя закон косинусов, мы можем выразить длину третьей стороны \( c \) через длины известных сторон \( a \) и \( b \) и угол \( \angle A \) между этими сторонами.

Формула закона косинусов:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\angle A) \]

В нашем случае, известно, что стороны параллелограмма равны 4 см и 2 см, а угол между ними составляет 120°. Подставим эти значения в формулу:

\[ c^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos(120°) \]

\[ c^2 = 16 + 4 - 16 \cdot \cos(120°) \]

\[ c^2 = 20 - 16 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]

\[ c^2 = 20 + 8 \]

\[ c^2 = 28 \]

\[ c = \sqrt{28} \]
\[ c \approx 5.29 \, \text{см} \]

Таким образом, третья сторона параллелограмма равна примерно 5.29 см.

Теперь, когда мы знаем длину третьей стороны, мы можем найти длины диагоналей параллелограмма. Диагонали разделяют параллелограмм на четыре треугольника, которые можно рассматривать как прямоугольные треугольники.

Используя теорему Пифагора для каждого из этих треугольников, мы можем найти длины диагоналей.

Для первого треугольника:
\[ \text{Длина диагонали}^2 = \text{Длина стороны } a^2 + \text{Длина стороны } b^2 \]

\[ \text{Длина диагонали}^2 = 4^2 + 2.65^2 \]
\[ \text{Длина диагонали}^2 = 16 + 7 \]
\[ \text{Длина диагонали}^2 = 23 \]
\[ \text{Длина диагонали} = \sqrt{23} \]
\[ \text{Длина диагонали} \approx 4.8 \, \text{см} \]

Для второго треугольника:
\[ \text{Длина диагонали}^2 = \text{Длина стороны } a^2 + \text{Длина стороны } b^2 \]

\[ \text{Длина диагонали}^2 = 2^2 + 2.29^2 \]
\[ \text{Длина диагонали}^2 = 4 + 5.26 \]
\[ \text{Длина диагонали}^2 = 9.26 \]
\[ \text{Длина диагонали} = \sqrt{9.26} \]
\[ \text{Длина диагонали} \approx 3.04 \, \text{см} \]

Таким образом, длины диагоналей параллелограмма при заданных условиях составляют примерно 4.8 см и 3.04 см соответственно.

2) Для решения этой задачи, нам понадобится использовать тригонометрические соотношения. Известно, что в треугольнике ABC, сторона AC равна 33 см, угол B равен 60° и угол C равен 45°. Нам нужно найти длину стороны AB.

Для начала, мы можем найти значение угла A, используя факт, что сумма всех углов треугольника равна 180°:
\[ \angle A = 180° - \angle B - \angle C \]
\[ \angle A = 180° - 60° - 45° \]
\[ \angle A = 75° \]

Зная три угла треугольника, мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса для нахождения длины стороны AB:
\[ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle A)} \]
\[ \frac{33}{\sin(60°)} = \frac{AB}{\sin(75°)} \]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно длины стороны AB:
\[ AB = \frac{33 \cdot \sin(75°)}{\sin(60°)} \]
\[ AB = \frac{33 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ AB = \frac{33(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2\sqrt{3}} \]
\[ AB = \frac{33(\sqrt{6} + \sqrt{2})\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} \]
\[ AB = \frac{33(\sqrt{6} + \sqrt{2})\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \]
\[ AB = \frac{11(\sqrt{6} + \sqrt{2})\sqrt{3}}{2} \]
\[ AB = \frac{11\sqrt{18} + 11\sqrt{6}}{2} \]
\[ AB \approx 14.21 \, \text{см} \]

Таким образом, длина стороны AB треугольника ABC составляет примерно 14.21 см.

3) Чтобы найти третью сторону треугольника, если известны две стороны и угол между ними, мы можем использовать закон синусов.

Закон синусов гласит, что отношение каждой стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла является одинаковым.

Таким образом, формула для нахождения третьей стороны \( c \) по известным сторонам \( a \) и \( b \) и углу \( \angle C \) между ними будет выглядеть следующим образом:

\[ \frac{c}{\sin(\angle C)} = \frac{a}{\sin(\angle A)} = \frac{b}{\sin(\angle B)} \]

Для нахождения третьей стороны требуется знать две стороны и угол между ними.