1) Каково значение выражения 3cos(3/2п-а)+1/5cos(п/2-a), если a=5п/2? 2) Перепишите выражение

1) Давайте найдем значение выражения, подставив значение \( a = \frac{5\pi}{2} \). Начнем с первого слагаемого: \( 3\cos\left(\frac{3}{2}\pi - a\right) \). Заметим, что \( \frac{3}{2}\pi - a = \frac{3}{2}\pi - \frac{5}{2}\pi = -\frac{2}{2}\pi = -\pi \). Таким образом, первое слагаемое становится \( 3\cos(-\pi) \). Из тригонометрии мы знаем, что \( \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1 \), поэтому первое слагаемое равно -3.

Теперь рассмотрим второе слагаемое: \( \frac{1}{5}\cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right) \). Здесь также можно заметить, что \( \frac{\pi}{2} - a = \frac{\pi}{2} - \frac{5}{2}\pi = -2\pi \). Таким образом, второе слагаемое равно \( \frac{1}{5} \cos(-2\pi) \). Будучи продолжением окружности, косинус повторяется каждые \( 2\pi \), поэтому \( \cos(-2\pi) = \cos(0) = 1 \), и второе слагаемое равно \( \frac{1}{5} \cdot 1 \), то есть \( \frac{1}{5} \).

Теперь сложим два слагаемых, чтобы получить значение всего выражения: \( -3 + \frac{1}{5} \). Первое слагаемое отрицательно, а второе положительно, поэтому разность будет ближе к -3. Ответ: примерно -2.8.

2) Для переписывания выражения \( \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \) воспользуемся формулой для косинуса двойного угла \( \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) \).

Заметим, что у нас две пары синусов и косинусов, где углы отличаются на \( \frac{\pi}{6} \). Это дает нам идею использовать формулу для косинуса двойного угла. Подставим значения:

\( \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) \),

что сводится к

\( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \).

Ответ: \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \).

3) Для нахождения решения уравнения \( \frac{\cos(2x)}{\cos^2(x)} = \sin(\pi - x) + \frac{\cos(x)}{\cos(x)} \) начнем с упрощения правой части уравнения.

Используя тригонометрическую формулу для синуса разности углов \( \sin(\pi - x) = \sin\pi\cos x - \cos\pi\sin x \), получим

\( \frac{\cos(2x)}{\cos^2(x)} = \sin\pi\cos x - \cos\pi\sin x + 1 \).

Так как \( \sin\pi = 0 \) и \( \cos\pi = -1 \), упростим выражение:

\( \frac{\cos(2x)}{\cos^2(x)} = -\sin x - 1 \).

Теперь умножим обе части уравнения на \( \cos^2(x) \):

\( \cos(2x) = -\sin x \cdot \cos^2(x) - \cos^2(x) \).

С использованием тригонометрической формулы двойного угла для косинуса \( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \), получим:

\( 2\cos^2(x) - 1 = -\sin x \cdot \cos^2(x) - \cos^2(x) \).

Теперь объединим слагаемые справа:

\( 2\cos^2(x) - 1 = -\cos^2(x) - \sin x \cdot \cos^2(x) \).

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

\( 2\cos^2(x) + \cos^2(x) = -1 - \sin x \cdot \cos^2(x) \).

Используя дистрибутивность умножения, упростим выражение:

\( 3\cos^2(x) = -1 - \sin x \cdot \cos^2(x) \).

Теперь перенесем всё на одну сторону, чтобы получить линейное уравнение:

\( 3\cos^2(x) + \sin x \cdot \cos^2(x) + 1 = 0 \).

И это окончательное уравнение для решения. Просмотрим его: 3 англ: three, \(-\cos^2(x)\) англ: cos squared of x, \(\sin x\) англ: sin of x, \(\cos^2(x)\) англ: cos squared x, = англ: equal to 0 Подберем решение этого уравнения на основе известных значений функций тригонометрии и алгебры и проверим его в начальном уравнении. Если решения нет, мы скажем, что решение не существует или является вырожденным, и объясним, почему.