1. Каково взаимное положение двух плоскостей, если известно, что только одна из них перпендикулярна данной прямой?

1. При решении данной задачи нам необходимо рассмотреть два случая:
а) Если только одна из двух плоскостей перпендикулярна данной прямой, то они не могут быть пересекающимися и имеют общую точку - данную прямую. В данном случае, мы можем сказать, что эти две плоскости параллельны друг другу.

б) Если одна плоскость перпендикулярна данной прямой, а другая не перпендикулярна ей, то эти две плоскости пересекаются. Общая точка пересечения будет являться данной прямой.

2. Нет, две стороны треугольника не могут быть перпендикулярны к одной плоскости. Треугольник в плоскости образован тремя сторонами, и они должны лежать в одной плоскости. Если бы две стороны треугольника были перпендикулярны к одной плоскости, треугольник получился бы плоским и не имел бы третьей стороны.

3. Да, две стороны трапеции могут быть перпендикулярны к одной плоскости. Трапеция - это четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Две непараллельные стороны могут быть перпендикулярны к одной плоскости, в которой лежит трапеция.

4. Нет, две стороны правильного шестиугольника не могут быть перпендикулярны к одной плоскости. В правильном шестиугольнике все стороны равны и углы между ними равны 120 градусам. Две стороны, образующие угол 120 градусов, не могут быть перпендикулярными к одной плоскости.

5. Для доказательства данного утверждения мы можем использовать следующие предпосылки:
а) Плоскость и прямая перпендикулярны к одной линии.
б) Две перпендикулярные прямые лежат в одной плоскости.

Из этих двух предпосылок следует, что плоскость и прямая являются параллельными. Обосновать это можно следующим образом: если прямая и плоскость перпендикулярны к одной линии, то прямая будет лежать в этой плоскости, так как она пересекает ее в точке пересечения с линией. Следовательно, плоскость и прямая будут параллельными.

Таким образом, доказано, что если плоскость и прямая перпендикулярны к одной линии, то они параллельны.