1) Каково ускорение свободного падения на Меркурии? Масса Меркурия составляет 3,3 х 10^23 кг, а радиус - 2440 км

1) Ускорение свободного падения на Меркурии можно вычислить с использованием формулы \(g = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}}\), где \(g\) - ускорение свободного падения, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Меркурия и \(r\) - радиус Меркурия.

Для начала, нужно преобразовать радиус Меркурия из километров в метры: \(r = 2440 \, \text{км} \cdot 1000 \, \text{м/км}\).
\(r = 2.44 \times 10^6 \, \text{м}\)

Теперь можем использовать формулу для расчета ускорения свободного падения:
\(g = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}}\)

Подставим значения:
\(g = \frac{{6.67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^{-2} \cdot 3.3 \times 10^{23} \, \text{кг}}}{{(2.44 \times 10^6 \, \text{м})^2}}\)

Теперь произведем вычисления:
\[g \approx 3.7 \, \text{м/с}^2\]

Таким образом, ускорение свободного падения на Меркурии составляет около 3.7 м/с^2.

2) Чтобы вычислить высоту над Землей, на которой достигается ускорение свободного падения в 5 м/с^2, можно использовать формулу \(g = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}}\), где \(g\) - ускорение свободного падения, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли и \(r\) - расстояние от центра Земли до данной высоты.

У нас есть значение ускорения свободного падения \(g = 5 \, \text{м/с}^2\) и данные о Земле: \(M = 5.6 \times 10^{24} \, \text{кг}\) и \(r = 6400 \, \text{км} \cdot 1000 \, \text{м/км}\).
\(r = 6.4 \times 10^6 \, \text{м}\)

Мы можем переписать формулу следующим образом:
\(5 \, \text{м/с}^2 = \frac{{6.67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^{-2} \cdot 5.6 \times 10^{24} \, \text{кг}}}{{r^2}}\)

Теперь решим уравнение:
\[5 \, \text{м/с}^2 \cdot r^2 = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^{-2} \cdot 5.6 \times 10^{24} \, \text{кг}\]
\[r^2 = \frac{{6.67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^{-2} \cdot 5.6 \times 10^{24} \, \text{кг}}}{{5 \, \text{м/с}^2}}\]
\[r^2 \approx 8.99 \times 10^{12} \, \text{м}^2\]

Теперь извлечем квадратный корень и получим значение расстояния от центра Земли до данной высоты:
\[r \approx \sqrt{8.99 \times 10^{12} \, \text{м}^2} = 2.89 \times 10^6 \, \text{м}\]

Таким образом, ускорение свободного падения в 5 м/с^2 достигается на высоте примерно 2.89 миллиона метров (или 2.89 тысяч километров) над Землей.

3) Для определения массы планеты Уран, если ускорение свободного падения на ее поверхности такое же, как на Земле, мы можем использовать формулу \(g = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}}\), где \(g\) - ускорение свободного падения, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты и \(r\) - радиус планеты.

Так как у нас дано, что ускорение свободного падения на планете Уран такое же, как на Земле, тогда \(g_{\text{Уран}} = g_{\text{Земля}}\).

У нас также есть данные о Земле: \(g_{\text{Земля}} = 9.8 \, \text{м/с}^2\), \(M_{\text{Земля}} = 5.6 \times 10^{24} \, \text{кг}\) и \(r_{\text{Земля}} = 6400 \, \text{км} \cdot 1000 \, \text{м/км}\).
\(r_{\text{Земля}} = 6.4 \times 10^6 \, \text{м}\)

Мы можем записать уравнение следующим образом:
\(g_{\text{Уран}} = \frac{{G \cdot M_{\text{Уран}}}}{{r_{\text{Уран}}^2}}\)

Так как ускорение свободного падения \(g_{\text{Уран}}\) такое же, как на Земле, мы можем написать:
\(g_{\text{Земля}} = \frac{{G \cdot M_{\text{Уран}}}}{{r_{\text{Уран}}^2}}\)

Теперь решим уравнение и найдем массу планеты Уран:
\[G \cdot M_{\text{Уран}} = g_{\text{Земля}} \cdot r_{\text{Уран}}^2\]
\[M_{\text{Уран}} = \frac{{g_{\text{Земля}} \cdot r_{\text{Уран}}^2}}{{G}}\]

Подставим известные значения:
\[M_{\text{Уран}} = \frac{{9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot (2.5 \times 10^4 \, \text{км} \cdot 1000 \, \text{м/км})^2}}{{6.67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^{-2}}}\]

Теперь произведем вычисления:
\[M_{\text{Уран}} \approx 8.68 \times 10^{25} \, \text{кг}\]

Таким образом, масса планеты Уран составляет примерно \(8.68 \times 10^{25}\) килограммов.