1) Каково расстояние от точки, где пересекаются диагонали одной из граней, до вершин противолежащей грани в кубе

1) Рассмотрим куб со стороной \(a\) и диагональю \(d\). Когда диагонали одной из граней пересекаются, они делятся пополам. Таким образом, расстояние от точки пересечения диагонали до вершины противолежащей грани будет половиной диагонали грани куба.

Диагональ грани куба можно найти с помощью теоремы Пифагора. Для прямоугольного треугольника со сторонами \(a\), \(a\) и \(d\) выполняется следующее уравнение:

\[a^2 + a^2 = d^2\]
\[2a^2 = d^2\]
\[a = \frac{d}{\sqrt{2}}\]

Так как требуется половина длины диагонали, расстояние от точки пересечения диагонали до вершины противолежащей грани будет:

\[\frac{d}{2\sqrt{2}}\]

2) Ребра \(BC\) и \(AD\) можно считать взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов. Для доказательства этого факта воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников.

Если грани \(DAB\) и \(DAC\) являются прямоугольными треугольниками с прямыми углами при точке \(A\), то отрезки \(AD\) и \(AC\) будут являться гипотенузами этих треугольников.

Кроме того, из свойств прямоугольных треугольников известно, что гипотенуза является наибольшей стороной в треугольнике. Поэтому отрезки \(AD\) и \(AC\) будут образовывать наибольшую сторону в треугольнике.

Так как \(BC\) является ребром тетраэдра и соединяет две вершины, то он является его наибольшей стороной.

Таким образом, ребра \(BC\) и \(AD\) являются взаимно перпендикулярными.

3) Пусть \(AB\) и \(AC\) - наклонные отрезки, проведенные из точки \(A\) до их пересечения с плоскостью. Также пусть \(AE\) будет проекцией отрезка \(AB\) на плоскость, а \(AF\) - проекцией отрезка \(AC\).

Используя подобные треугольники, мы можем установить пропорцию между соответствующими сторонами треугольников \(ABE\) и \(ACF\):

\(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}\)

Учитывая данный факт, можем записать:

\(\frac{16}{AB} = \frac{AF}{20}\)

Перепишем уравнение, чтобы выразить \(AF\):

\(AF = \frac{16 \cdot AC}{AB}\)

Зная, что \(AB\) и \(AC\) равны 15 см и 20 см соответственно, мы можем подставить значения в уравнение:

\(AF = \frac{16 \cdot 20}{15} = \frac{32}{3} \approx 10.67\)

Таким образом, проекция другого отрезка равна приблизительно 10.67 см.

4) Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника.

Так как точка \(М\) находится на расстоянии 6 от основания, она делит его на две равные части. Таким образом, \(М\) является серединой гипотенузы.

С использованием свойств прямоугольного треугольника, можем найти длину гипотенузы через катеты:

\[\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\]

Так как точка \(М\) находится на расстоянии 6 от основания, то расстояние от точки \(М\) до вершины прямоугольного треугольника будет:

\[5 - 6 = -1\]

Ответ: расстояние от точки \(М\) до вершины прямоугольного треугольника равно -1.