1. Каково расстояние между точками А(-1; 3; -1) и В(-1; 0; -5)? (ответ: расстояние АВ равно 5) 2. Каково расстояние

Давайте решим эти задачи по порядку.

1. Чтобы найти расстояние между точками А и В, мы можем воспользоваться формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

где d - расстояние между точками, (x1, y1, z1) - координаты точки А, а (x2, y2, z2) - координаты точки В.

Для данной задачи, координаты точки А: (-1, 3, -1), а координаты точки В: (-1, 0, -5).

Подставим значения в формулу и решим:

\[d = \sqrt{{(-1 - (-1))^2 + (0 - 3)^2 + (-5 - (-1))^2}}\]

\[d = \sqrt{{0^2 + (-3)^2 + (-4)^2}}\]

\[d = \sqrt{{0 + 9 + 16}}\]

\[d = \sqrt{{25}}\]

Таким образом, расстояние между точками А и В равно 5.

2. Чтобы найти расстояние от точки А до начала координат, мы также можем воспользоваться формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Но в данном случае координаты начала координат равны (0, 0, 0).

Таким образом, координаты точки А: (-1, 2, -2).

Подставим значения в формулу и решим:

\[d = \sqrt{{(-1 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (-2 - 0)^2}}\]

\[d = \sqrt{{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2}}\]

\[d = \sqrt{{1 + 4 + 4}}\]

\[d = \sqrt{{9}}\]

Таким образом, расстояние от точки А до начала координат равно 3.

3. Чтобы найти периметр треугольника АВС, нам необходимо найти длины всех трех сторон и сложить их.

Сначала найдем длину стороны АВ. Координаты точки А: (7, 1, -5), координаты точки В: (4, -3, -4).

\[d_{AB} = \sqrt{{(7 - 4)^2 + (1 - (-3))^2 + (-5 - (-4))^2}}\]

\[d_{AB} = \sqrt{{3^2 + 4^2 + (-1)^2}}\]

\[d_{AB} = \sqrt{{9 + 16 + 1}}\]

\[d_{AB} = \sqrt{{26}}\]

Затем найдем длину стороны BC. Координаты точки В: (4, -3, -4), координаты точки С: (1, 3, -2).

\[d_{BC} = \sqrt{{(4 - 1)^2 + (-3 - 3)^2 + (-4 - (-2))^2}}\]

\[d_{BC} = \sqrt{{3^2 + (-6)^2 + (-2)^2}}\]

\[d_{BC} = \sqrt{{9 + 36 + 4}}\]

\[d_{BC} = \sqrt{{49}}\]

Наконец, найдем длину стороны AC. Координаты точки А: (7, 1, -5), координаты точки С: (1, 3, -2).

\[d_{AC} = \sqrt{{(7 - 1)^2 + (1 - 3)^2 + (-5 - (-2))^2}}\]

\[d_{AC} = \sqrt{{6^2 + (-2)^2 + (-3)^2}}\]

\[d_{AC} = \sqrt{{36 + 4 + 9}}\]

\[d_{AC} = \sqrt{{49}}\]

Теперь сложим длины всех трех сторон:

Периметр треугольника АВС = \(d_{AB} + d_{BC} + d_{AC} = \sqrt{{26}} + \sqrt{{49}} + \sqrt{{49}}\)

Мы можем упростить это выражение:

Периметр треугольника АВС = \(\sqrt{{26}} + \sqrt{{49}} + \sqrt{{49}} = \sqrt{{26}} + 7 + 7 = \sqrt{{26}} + 14\)

Итак, периметр треугольника АВС равен 14 + корень из 26.