Какова площадь параллелограмма, если все его стороны равны, периметр составляет 64 см, и один из углов между диагональю

У нас есть параллелограмм, у которого все стороны равны и периметр составляет 64 см. Мы также знаем, что один из углов между диагональю и стороной равен 75°.

Чтобы найти площадь параллелограмма, нам понадобятся два важных факта. Первый - диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника равной площади. Второй - высота параллелограмма перпендикулярна основанию и ее длина равна длине этого основания.

Давайте рассмотрим каждый шаг более подробно:

Шаг 1: Найдем длину каждой стороны параллелограмма. У нас есть 4 одинаковых стороны, поэтому каждая сторона будет равна периметру, разделенному на 4. В данном случае \(\text{длина стороны} = \frac{64 \, \text{см}}{4} = 16 \, \text{см}\).

Шаг 2: Разобъем параллелограмм на два прямоугольных треугольника с помощью диагонали. Для удобства обозначим основание параллелограмма как \(b\) и высоту как \(h\).

Шаг 3: Найдем длину диагонали параллелограмма. Диагональ можно представить как гипотенузу одного из треугольников. С помощью прямоугольного треугольника и тригонометрии, мы можем найти длину диагонали:

\[
\cos(75^\circ) = \frac{b}{\text{длина диагонали}}
\]

\(\text{длина диагонали} = \frac{b}{\cos(75^\circ)}\)

Шаг 4: Так как параллелограмм является фигурой с равными сторонами и диагоналями разделяет его на два прямоугольных треугольника, длина диагонали должна быть равна длине стороны.

\[
\text{длина диагонали} = \frac{b}{\cos(75^\circ)} = 16 \, \text{см}
\]

Шаг 5: Теперь мы можем найти основание параллелограмма. Используем формулу для нахождения длины основания:

\[
b = \text{длина диагонали} \times \cos(75^\circ) = 16 \, \text{см} \times \cos(75^\circ)
\]

Шаг 6: Найдем высоту параллелограмма. Как было упомянуто ранее, высота параллелограмма равна длине основания:

\[
h = b = 16 \, \text{см} \times \cos(75^\circ)
\]

Шаг 7: Теперь, когда у нас есть основание и высота параллелограмма, мы можем найти его площадь:

\[
\text{Площадь} = \text{Основание} \times \text{Высота} = h \times b = (16 \, \text{см} \times \cos(75^\circ))^2
\]

Шаг 8: Подставим значение угла 75° и вычислим численное значение площади:

\[
\text{Площадь} = (16 \, \text{см} \times \cos(75^\circ))^2 \approx 64 \, \text{см}^2
\]

Итак, площадь параллелограмма составляет примерно 64 квадратных сантиметра.