1) Какова высота правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания равна 12 см, а боковое ребро составляет

1) Для решения данной задачи нам потребуется применить теорему Пифагора для нахождения высоты треугольной пирамиды.

Прежде всего, нужно определить основание треугольника, образующего пирамиду. Для этого проверим, что сумма длин двух боковых ребер больше длины третьего ребра. В нашем случае, сумма длин двух боковых ребер равна 14 см (7 + 7 = 14), что больше длины третьего ребра основания, равного 12 см.

Так как треугольник существует, мы можем применить теорему Пифагора. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В нашем случае гипотенуза - это высота пирамиды, а катеты - это половина стороны основания (6 см) и боковое ребро (7 см).

Таким образом, мы можем записать уравнение:
\(h^2 = (6^2) + (7^2)\)
\(h^2 = 36 + 49\)
\(h^2 = 85\)

Чтобы найти высоту \(h\), возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:
\(h = \sqrt{85}\)

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды равна \(\sqrt{85}\) см.

2) Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, мы должны найти сумму площадей всех четырех боковых треугольников. Каждый боковой треугольник имеет основание равное длине бокового ребра (7 см) и высоту равную высоте пирамиды (\(\sqrt{85}\) см).

Формула для площади треугольника равна \(\frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\). Значит, площадь каждого бокового треугольника равна:
\(S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times 7 \times \sqrt{85}\)

Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, нужно сложить площади всех четырех боковых треугольников:
\(S_{\text{поверхности}} = 4 \times \frac{1}{2} \times 7 \times \sqrt{85}\)

Упростив это выражение, получаем:
\(S_{\text{поверхности}} = 14 \times \sqrt{85}\)

Таким образом, площадь боковой поверхности данной пирамиды равна \(14 \times \sqrt{85}\) квадратных сантиметров.