1. Найдите длину третьей стороны треугольника и его площадь, если две стороны равны 6 см и 8 см, а угол между ними

см и 12 см.
4. Решите систему уравнений:
\[
\begin{cases}
2x + y = 5 \\
3x - 2y = 1
\end{cases}
\]
5. Выполните умножение двух многочленов:
\((3x - 2)(2x^2 + 5x - 7)\).
6. Разложите на множители многочлен \(4x^2 - 12x + 9\).
7. Решите квадратное уравнение \(x^2 + 4x + 3 = 0\).
8. Вычислите значение выражения \(\sqrt{17+12\sqrt{2}} - \sqrt{17-12\sqrt{2}}\).
9. Определите производную функции \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5\).
10. Решите интеграл \(\int(2x^3 + 3x^2 + 4x + 1) \, dx\).

1. Для нахождения третьей стороны треугольника можно воспользоваться теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит, что квадрат длины третьей стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними. В данной задаче у нас даны две стороны треугольника: 6 см и 8 см, а угол между ними равен 60°. Подставляя данные в формулу теоремы косинусов, получаем:
\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)
\]
где \(c\) - третья сторона, \(a\), \(b\) - стороны, \(C\) - угол между сторонами.

Подставляя значения, получаем:
\[
c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60°)
\]
Вычисляем:
\[
c^2 = 36 + 64 - 96 \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
c^2 = 36 + 64 - 48
\]
\[
c^2 = 100
\]
\[
c = \sqrt{100} = 10
\]

Таким образом, длина третьей стороны треугольника равна 10 см.

Чтобы найти площадь треугольника, можно использовать формулу площади треугольника по двум сторонам и углу между ними:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)
\]
где \(S\) - площадь, \(a\), \(b\) - стороны, \(C\) - угол между сторонами.

Подставляя значения, получаем:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(60°)
\]
Вычисляем:
\[
S = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}
\]

Таким образом, площадь треугольника равна \(12\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

2. Для нахождения длины стороны \(bc\) в треугольнике \(abc\) можно воспользоваться теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение синуса угла к длине противоположной стороны в треугольнике равно отношению синуса другого угла к длине другой противоположной стороны. В данной задаче нам даны сторона \(ab = 32\) см, угол \(qc = 45°\) и угол \(qa = 120°\).

Отношение сина угла \(qc\) к стороне \(bc\) равно отношению синуса угла \(qa\) к стороне \(ac\):

\[
\frac{\sin(qc)}{bc} = \frac{\sin(qa)}{ac}
\]

Подставляем известные значения:

\[
\frac{\sin(45°)}{bc} = \frac{\sin(120°)}{3}
\]

Вычисляем синусы:

\[
\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{bc} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{3}
\]

Упрощаем выражение:

\[
\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot bc
\]

Умножаем числитель и знаменатель:

\[
\frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot bc
\]

Домножаем обе части уравнения на \(\frac{2}{\sqrt{3}}\):

\[
3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = bc
\]

Упрощаем выражение:

\[
2\sqrt{2} \cdot 2 = bc
\]

Вычисляем:

\[
4\sqrt{2} = bc
\]

Таким образом, длина стороны \(bc\) равна \(4\sqrt{2}\) сантиметров.

3. Чтобы определить тип треугольника, нужно сравнить квадраты длин сторон с квадратом длины самой большой стороны. Если первое равенство выполняется, то угол противоположный самой длинной стороне острый. Если второе равенство выполняется, то угол противоположный самой длинной стороне прямой. Если первое и второе равенства не выполняются, то угол противоположный самой длинной стороне тупой.

В данной задаче у нас даны стороны 7 см, 10 см и 12 см.

Сортируем стороны в порядке возрастания: 7, 10, 12.

Сравниваем квадраты длины сторон: 7^2 + 10^2 < 12^2

7^2 + 100 < 144

49 + 100 < 144

149 < 144

Поскольку первое равенство не выполняется, угол противоположный самой длинной стороне тупой.

Таким образом, треугольник с данными сторонами является тупоугольным.

4. Для решения системы уравнений можно использовать метод подстановки или метод комбинирования (сложения или вычитания уравнений).

В данной задаче у нас дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
2x + y = 5 \\
3x - 2y = 1
\end{cases}
\]

Мы можем использовать метод комбинирования. Для этого умножим первое уравнение на 2:

\[
\begin{cases}
4x + 2y = 10 \\
3x - 2y = 1
\end{cases}
\]

Теперь сложим оба уравнения:

\[
7x = 11
\]

Разделим оба части на 7:

\[
x = \frac{11}{7}
\]

Подставим найденное значение \(x\) в первое уравнение:

\[
2 \cdot \frac{11}{7} + y = 5
\]

Упростим:

\[
\frac{22}{7} + y = 5
\]

Вычтем \(\frac{22}{7}\) из обеих частей:

\[
y = 5 - \frac{22}{7}
\]

Получим общий знаменатель:

\[
y = \frac{35}{7} - \frac{22}{7}
\]

Вычислим:

\[
y = \frac{13}{7}
\]

Таким образом, решение системы уравнений:

\[
x = \frac{11}{7}, \quad y = \frac{13}{7}
\]

5. Чтобы выполнить умножение двух многочленов, нужно использовать правило распределения и сложения мономов.

У нас даны многочлены \((3x - 2)\) и \((2x^2 + 5x - 7)\).

Для умножения многочленов вычисляем произведение каждого члена первого многочлена на каждый член второго многочлена:

\[
(3x - 2)(2x^2 + 5x - 7) = 3x \cdot (2x^2 + 5x - 7) - 2 \cdot (2x^2 + 5x - 7)
\]

Раскрываем скобки:

\[
(3x - 2)(2x^2 + 5x - 7) = 6x^3 + 15x^2 - 21x - 4x^2 - 10x + 14
\]

Складываем одинаковые степени многочлена:

\[
(3x - 2)(2x^2 + 5x - 7) = 6x^3 + (15x^2 - 4x^2) + (-21x - 10x) + 14
\]

Упрощаем выражение:

\[
(3x - 2)(2x^2 + 5x - 7) = 6x^3 + 11x^2 - 31x + 14
\]

Таким образом, произведение двух многочленов равно \(6x^3 + 11x^2 - 31x + 14\).

6. Для разложения многочлена на множители можно использовать метод группировки.

У нас дан многочлен \(4x^2 - 12x + 9\).

Разложим многочлен на множители:

\[
4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2
\]

Проверим это разложение путем раскрытия скобок:

\[
(2x - 3)(2x - 3) = 4x^2 - 6x - 6x + 9 = 4x^2 - 12x + 9
\]

Таким образом, многочлен разложен на множители: \(4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2\).

7. Чтобы решить квадратное уравнение, можно использовать формулу квадратного корня:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

В данном уравнении у нас даны коэффициенты: \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = 3\).

Подставляем значения в формулу:

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}
\]

Вычисляем:

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}
\]

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2}
\]

\[
x = \frac{-4 \pm 2}{2}
\]

Таким образом, у нас есть два решения:

\[
x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = -1
\]

\[
x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = -3
\]

Таким образом, решения квадратного уравнения \(x^2 + 4x + 3 = 0\) равны \(x_1 = -1\) и \(x_2 = -3\).

8. Чтобы вычислить значение выражения, содержащего корни, нужно использовать свойства корней.

У нас дано выражение:

\[
\sqrt{17+12\sqrt{2}} - \sqrt{17-12\sqrt{2}}
\]

Мы можем представить его в виде:

\[
\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2 + 2^2} - \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2 + 2^2}
\]

Это мы делаем для того, чтобы использовать свойства корней и сократить их.

Проводим подобные сложения внутри каждого корня:

\[
\sqrt{2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} - \sqrt{2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}
\]

Упрощаем:

\[
\sqrt{4 + 4 \sqrt{2} + 2} - \sqrt{4 - 4 \sqrt{2} + 2}
\]

\[
\sqrt{6 + 4 \sqrt{2}} - \sqrt{6 - 4 \sqrt{2}}
\]

Теперь можно заметить, что корень \(\sqrt{6 + 4 \sqrt{2}}\) можно представить в виде \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\), а корень \(\sqrt{6 - 4 \sqrt{2}}\) можно представить в виде \(\sqrt{3} - \sqrt{2}\).

Тогда имеем:

\[
\sqrt{6 + 4 \sqrt{2}} - \sqrt{6 - 4 \sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \