1. Какова вероятность того, что оба шара будут красными, если в ящике имеется 15 шаров красного цвета и 5 шаров синего

1. Для решения данной задачи нам необходимо определить вероятность того, что оба шара будут красными при извлечении двух шаров наугад из ящика, содержащего 15 красных и 5 синих шаров.

Общее количество возможных исходов при извлечении двух шаров из ящика можно определить по формуле сочетаний:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где n - общее количество шаров в ящике (в данном случае 15+5=20), k - количество извлекаемых шаров (в данном случае 2).

Теперь посчитаем количество благоприятных исходов, то есть количество комбинаций, при которых оба извлеченных шара будут красными. Так как в ящике имеется 15 красных шаров, мы выбираем оба красных шара из 15 возможных:

\[\binom{15}{2} = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2!13!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105\]

Итак, у нас есть 105 благоприятных исходов. Теперь можем вычислить вероятность, разделив количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов:

\[P = \frac{105}{\binom{20}{2}} = \frac{105}{\frac{20!}{2!(20-2)!}} = \frac{105}{\frac{20!}{2!18!}} = \frac{105 \times 2!18!}{20!} \approx 0.2632\]

Таким образом, вероятность того, что оба шара будут красными, равна приблизительно 0.2632 или около 26.32%.

2. Для решения данной задачи нам необходимо определить вероятность того, что вынутая из коробки деталь, среди 10 деталей в которой 3 являются легче остальных, окажется тяжелой с напылением, если на 7 из них случайным образом было сделано напыление.

Общее количество возможных исходов при извлечении одной детали из коробки равно общему количеству деталей в коробке, то есть 10.

Теперь посчитаем количество благоприятных исходов, то есть количество деталей, которые являются тяжелыми с напылением среди 7, на которые было сделано напыление.

Количество благоприятных исходов равно 7.

Итак, у нас есть 7 благоприятных исходов. Теперь можем вычислить вероятность, разделив количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов:

\[P = \frac{7}{10} = 0.7\]

Таким образом, вероятность того, что вынутая деталь окажется тяжелой с напылением, составляет 0.7 или 70%.

3. Для решения данной задачи нам необходимо определить вероятность того, что при извлечении двух шаров наугад из коробки, содержащей 4 белых и 3 черных шара, оба шара окажутся черными.

Общее количество возможных исходов при извлечении двух шаров из коробки можно определить по формуле сочетаний:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где n - общее количество шаров в коробке (в данном случае 4+3=7), k - количество извлекаемых шаров (в данном случае 2).

Теперь посчитаем количество благоприятных исходов, то есть количество комбинаций, при которых оба извлеченных шара окажутся черными. Так как в коробке имеется 3 черных шара, мы выбираем оба черных шара из 3 возможных:

\[\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3\]

Итак, у нас есть 3 благоприятных исхода. Теперь можем вычислить вероятность, разделив количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов:

\[P = \frac{3}{\binom{7}{2}} = \frac{3}{\frac{7!}{2!(7-2)!}} = \frac{3}{\frac{7!}{2!5!}} = \frac{3 \times 2!5!}{7!} \approx 0.2857\]

Таким образом, вероятность того, что при извлечении двух шаров оба окажутся черными, составляет приблизительно 0.2857 или около 28.57%.