Какова площадь многоугольника, образованного соединением последовательных точек на координатной плоскости: (0,2

Чтобы найти площадь многоугольника, образованного соединением данных точек на координатной плоскости, нам понадобится использовать формулу площади Гаусса.

Формула площади Гаусса утверждает, что площадь многоугольника можно найти, разбив его на треугольники и сложив площади этих треугольников.

1. Нам нужно перечислить все точки последовательно в порядке, заданном в условии. Последовательность точек будет следующей: (0,2), (2,0), (1,2), (3,3), (2,3), (1,4).

2. Соединим данные точки последовательно, чтобы получить многоугольник. Многоугольник, образованный данными точками, выглядит следующим образом:

\[
\begin{{array}}{{c}}
\\
\end{{array}}
\begin{{array}}{{ccc}}
& (2,0) & \\
\\
(1,2) & & (3,3) \\
\\
(0,2) & & (2,3) \\
\\
& (1,4) & \\
\\
\end{{array}}
\]

3. Теперь мы должны разбить этот многоугольник на треугольники. Мы можем выбрать любую пару последовательных точек и соединить их прямой линией. Мы получим следующие треугольники:

1) (0,2), (2,0), (1,2)
2) (1,2), (2,0), (3,3)
3) (3,3), (2,0), (2,3)
4) (2,3), (2,0), (1,4)

4. Теперь нам нужно вычислить площадь каждого треугольника. Для этого можно использовать формулу площади треугольника \(S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h\), где \(b\) - основание треугольника, а \(h\) - его высота.

Давайте вычислим площадь каждого треугольника по очереди:

1) Треугольник (0,2), (2,0), (1,2):

Основание треугольника равно расстоянию между точками (0,2) и (2,0), что равно 2.

Высота треугольника может быть найдена по формуле \(h = |y_1 - y_2|\), где \(y_1\) и \(y_2\) - координаты вершин треугольника. В данном случае \(y_1 = 2\) и \(y_2 = 0\), поэтому \(h = |2 - 0| = 2\).

Подставляя значения в формулу площади треугольника, мы получаем:

\(S_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\)

2) Треугольник (1,2), (2,0), (3,3):

Основание треугольника равно расстоянию между точками (1,2) и (3,3), что равно \(\sqrt{(3-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{5}\).

Высота треугольника может быть найдена по формуле \(h = |y_1 - y_2|\), где \(y_1\) и \(y_2\) - координаты вершин треугольника. В данном случае \(y_1 = 2\) и \(y_2 = 0\), поэтому \(h = |2 - 0| = 2\).

Подставляя значения в формулу площади треугольника, мы получаем:

\(S_2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot 2 = \sqrt{5}\)

3) Треугольник (3,3), (2,0), (2,3):

Основание треугольника равно расстоянию между точками (3,3) и (2,3), что равно 1.

Высота треугольника может быть найдена по формуле \(h = |y_1 - y_2|\), где \(y_1\) и \(y_2\) - координаты вершин треугольника. В данном случае \(y_1 = 3\) и \(y_2 = 0\), поэтому \(h = |3 - 0| = 3\).

Подставляя значения в формулу площади треугольника, мы получаем:

\(S_3 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = \frac{3}{2}\)

4) Треугольник (2,3), (2,0), (1,4):

Основание треугольника равно расстоянию между точками (2,3) и (1,4), что равно 1.

Высота треугольника может быть найдена по формуле \(h = |y_1 - y_2|\), где \(y_1\) и \(y_2\) - координаты вершин треугольника. В данном случае \(y_1 = 3\) и \(y_2 = 0\), поэтому \(h = |3 - 0| = 3\).

Подставляя значения в формулу площади треугольника, мы получаем:

\(S_4 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = \frac{3}{2}\)

5. Теперь, когда у нас есть площадь каждого треугольника, мы можем найти общую площадь многоугольника, сложив площади всех треугольников:

\(S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 2 + \sqrt{5} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\)

Упрощая выражение, мы получаем:

\(S = 2 + \sqrt{5} + 3\)

Таким образом, площадь многоугольника, образованного заданными точками на координатной плоскости, равна \(2 + \sqrt{5} + 3\).