1. Какова вероятность того, что из купленных трех акций будет три акции банкротов, если из 20 акционерных обществ пять

1. Для решения задачи воспользуемся понятием условной вероятности. Пусть \(A\) - событие, состоящее в выборе трех акций банкротов, а \(B\) - событие, состоящее в выборе акций только из банкротных обществ. Нам требуется найти вероятность события \(A\) при условии \(B\).

Чтобы решить эту задачу, рассмотрим каждое действие построительно. Сначала рассмотрим выбор первой акции. Из семи обществ мы должны выбрать одно банкротное общество, для чего у нас есть 5 вариантов. Вероятность выбора акции из банкротного общества равна \(\frac{5}{20}\) или \(\frac{1}{4}\).

Затем рассмотрим выбор второй акции. Теперь среди оставшихся шести обществ только четыре являются банкротами. Вероятность выбора акции из банкротного общества на этом этапе равна \(\frac{4}{19}\).

Наконец, рассмотрим выбор третьей акции. Мы остались с пятью обществами, и все они банкроты. Поэтому вероятность выбора акции из банкротного общества равна \(\frac{5}{18}\).

Чтобы получить общую вероятность события \(A\) при условии \(B\), необходимо перемножить найденные вероятности для каждого этапа выбора:

\[
P(A|B) = \frac{1}{4} \times \frac{4}{19} \times \frac{5}{18} = \frac{5}{4 \times 19 \times 18}
\]

2. Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности и понятием условной вероятности. Пусть \(A_i\) - событие, состоящее в выборе лампочки от \(i\)-го завода, а \(B\) - событие, состоящее в выборе бракованной лампочки.

Сначала рассмотрим вероятность выбора лампочки от первого завода \(P(A_1)\). По условию, доля брака в продукции первого завода составляет 5%, поэтому вероятность выбора бракованной лампочки от первого завода равна \(P(B|A_1) = 0.05\).

Аналогично, для второго завода \(P(A_2) = 0.2\) и \(P(B|A_2) = 0.02\), а для третьего завода \(P(A_3) = 0.5\) и \(P(B|A_3) = 0.03\).

Теперь можем найти вероятность выбора бракованной лампочки, используя формулу полной вероятности:

\[
P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + P(A_3) \cdot P(B|A_3)
\]

Таким образом,

\[
P(B) = 0.3 \cdot 0.05 + 0.2 \cdot 0.02 + 0.5 \cdot 0.03 = 0.015 + 0.004 + 0.015 = 0.034
\]

3. Для решения данной задачи мы можем воспользоваться биномиальным распределением и найти вероятность получения ровно двух или более правильно оформленных накладных.

Вероятность правильного оформления накладной составляет 0.8, поэтому вероятность неправильного оформления накладной равна \(1 - 0.8 = 0.2\).

Пусть \(X\) - случайная величина, равная количеству правильно оформленных накладных. Мы хотим найти вероятность, что \(X = 2\) или \(X = 3\) накладных правильно оформлены. Применим формулу биномиального распределения:

\[
P(X = 2 \text{ или } X = 3) = \binom{n}{2} \cdot p^2 \cdot (1 - p)^{n - 2} + \binom{n}{3} \cdot p^3 \cdot (1 - p)^{n - 3}
\]

где \(n = 3\) (общее количество накладных), \(p = 0.8\) (вероятность правильного оформления накладной).

Вычислим каждую часть выражения:

\[
\binom{3}{2} \cdot 0.8^2 \cdot 0.2^{3 - 2} + \binom{3}{3} \cdot 0.8^3 \cdot 0.2^{3 - 3} = 3 \cdot 0.64 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.512 \cdot 1 = 0.384 + 0.512 = 0.896
\]

Таким образом, вероятность получения двух или более правильно оформленных накладных составляет 0.896 или 89.6%.