1. Какова протяженность пути автомобиля после проезда 10 км на север и затем 14.14 км на юго-восток? B. Каков модуль

Задача 1:

а) Чтобы найти протяженность пути автомобиля после проезда 10 км на север, а затем 14.14 км на юго-восток, нам нужно использовать понятие векторов. Давайте представим движение автомобиля как комбинацию двух векторов: вектора севера и вектора юго-востока.

Первый вектор - движение на север, имеет длину 10 км. Второй вектор - движение на юго-восток, имеет длину 14.14 км. Чтобы найти общий путь автомобиля, мы должны сложить эти два вектора.

Чтобы найти протяженность пути автомобиля после проезда 10 км на север и затем 14.14 км на юго-восток, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения гипотенузы треугольника. Пусть первый вектор будет горизонтальным, а второй - вертикальным.

Длина горизонтального вектора равна 14.14 км (движение на юго-восток), а длина вертикального вектора равна 10 км (движение на север).

Применяя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу треугольника, которая представляет протяженность пути автомобиля:

\[
\text{{протяженность пути автомобиля}} = \sqrt{{\text{{длина горизонтального вектора}}^2 + \text{{длина вертикального вектора}}^2}}
\]

\[
\text{{протяженность пути автомобиля}} = \sqrt{{14.14^2 + 10^2}} \approx \sqrt{{199.9396 + 100}} \approx \sqrt{{299.9396}} \approx 17.32 \text{{ км}}
\]

Ответ: Протяженность пути автомобиля после проезда 10 км на север и затем 14.14 км на юго-восток составляет примерно 17.32 км.

б) Чтобы найти модуль перемещения автомобиля, нам нужно найти расстояние от начальной точки до конечной точки без учета направления. В данном случае, модуль перемещения равен длине гипотенузы треугольника, который мы нашли в пункте а.

Ответ: Модуль перемещения автомобиля составляет примерно 17.32 км.

в) Чтобы найти модуль перемещения автомобиля после проезда 7.07 км после поворота, мы можем применить аналогичный метод. Поскольку это одномерное движение без учета направления, модуль перемещения будет равен пройденному расстоянию.

Ответ: Модуль перемещения автомобиля после проезда 7.07 км после поворота составляет 7.07 км.

Задача 2:

Чтобы найти расстояние между концами часовой и минутной стрелок через 6 часов, мы можем использовать понятие угловых секций.

В данной задаче, длина часовой и минутной стрелок равна 10 см каждая, а начальное время показывает 12 часов.

а) Через 6 часов:

Часовая стрелка поворачивается на угол, равный \( \frac{360}{12} \) градусов за один час. Таким образом, через 6 часов, часовая стрелка повернется на \( \frac{360}{12} \cdot 6 \) градусов.

Минутная стрелка также поворачивается на угол, равный \( \frac{360}{60} \) градусов за одну минуту. Через 6 часов это будет \( \frac{360}{60} \cdot (6 \cdot 60) \) градусов.

Теперь мы можем использовать косинусную теорему для нахождения расстояния между концами часовой и минутной стрелок:

\[
\text{{расстояние}} = \sqrt{{\text{{длина часовой стрелки}}^2 + \text{{длина минутной стрелки}}^2 - 2 \cdot \text{{длина часовой стрелки}} \cdot \text{{длина минутной стрелки}} \cdot \cos{\theta}}}
\]

Где \( \theta \) - это угол между часовой и минутной стрелками.

С использованием найденных углов и данных задачи, мы можем подставить значения в формулу:

\[
\text{{расстояние}} = \sqrt{{10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos{\left(\frac{360}{12} \cdot 6 - \frac{360}{60} \cdot (6 \cdot 60)\right)}}}
\]

\[
\text{{расстояние}} = \sqrt{{100 + 100 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos{\left(180 - 360\right)}}} = \sqrt{{200 - 200 \cdot \cos{180}}} = \sqrt{{200 + 200}} = \sqrt{{400}} = 20 \text{{ см}}
\]

Ответ: Расстояние между концами часовой и минутной стрелок через 6 часов равно 20 см.

б) Через 3 часа:

Аналогичным образом, мы можем использовать вышеупомянутый метод для нахождения расстояния между концами часовой и минутной стрелок через 3 часа, используя углы \( \frac{360}{12} \cdot 3 \) градусов и \( \frac{360}{60} \cdot (3 \cdot 60) \) градусов.

\[
\text{{расстояние}} = \sqrt{{10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos{\left(\frac{360}{12} \cdot 3 - \frac{360}{60} \cdot (3 \cdot 60)\right)}}}
\]

\[
\text{{расстояние}} = \sqrt{{100 + 100 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos{\left(90 - 180\right)}}} = \sqrt{{200 - 200 \cdot \cos{90}}} = \sqrt{{200}} \approx 14.14 \text{{ см}}
\]

Ответ: Расстояние между концами часовой и минутной стрелок через 3 часа примерно равно 14.14 см.

в) Через 4 часа:

Точно так же, используя углы \( \frac{360}{12} \cdot 4 \) градусов и \( \frac{360}{60} \cdot (4 \cdot 60) \) градусов, мы можем вычислить расстояние между концами часовой и минутной стрелок:

\[
\text{{расстояние}} = \sqrt{{10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos{\left(\frac{360}{12} \cdot 4 - \frac{360}{60} \cdot (4 \cdot 60)\right)}}}
\]

\[
\text{{расстояние}} = \sqrt{{100 + 100 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos{\left(120 - 240\right)}}} = \sqrt{{200 - 200 \cdot \cos{(-120)}}} = \sqrt{{200 - 200 \cdot \cos{120}}} \approx 14.14 \text{{ см}}
\]

Ответ: Расстояние между концами часовой и минутной стрелок через 4 часа примерно равно 14.14 см.