1. Какова площадь треугольника ABC, если в треугольниках ABC и DEK высоты равны BH и EM соответственно, причем BH равно

Давайте начнем с каждой задачи по порядку:

1. Нам дано, что в треугольниках ABC и DEK высоты равны BH и EM соответственно, при этом BH равно EM. Нам также известно, что сторона AC в восемь раз больше стороны DK, а площадь треугольника DEK равна 4.

Мы можем начать с определения площади треугольника DEK. По определению площади, площадь треугольника равна произведению половины основания треугольника на его высоту. Известно, что площадь треугольника DEK равна 4, поэтому мы можем записать это равенство в виде уравнения:

\[\frac{1}{2} \cdot DK \cdot EM = 4\] (1)

Мы также знаем, что сторона AC в восемь раз больше стороны DK (AC = 8 * DK). Теперь мы можем записать равенство высот треугольников:

BH = EM

Мы можем продолжить, заменяя EM на BH в уравнении (1):

\[\frac{1}{2} \cdot DK \cdot BH = 4\] (2)

Теперь нам нужно найти площадь треугольника ABC. Мы знаем, что BC и DE являются основаниями треугольников ABC и DEK соответственно. Мы можем записать отношение оснований:

\[\frac{BC}{DE} = \frac{AC}{DK}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{BC}{DK} = \frac{8 \cdot DK}{DK} = 8\]

Следовательно, BC = 8 * DK.

Теперь воспользуемся формулой для площади треугольника ABC:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot DK \cdot BH\]

Теперь мы можем использовать уравнение (2), чтобы заменить DK и BH:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{4}{BH} \cdot BH\]

Упрощая выражение, получим:

\[S_{ABC} = 16\]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 16.

2. Нам дано, что диагонали ромба равны 9 см и 12 см. Чтобы найти площадь ромба, мы можем воспользоваться формулой, которая гласит, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

\[S_{\text{ромба}} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\]

где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба.

Подставим данные значения:

\[S_{\text{ромба}} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\]

Таким образом, площадь ромба равна 54 квадратных сантиметра.

3. Нам дано, что площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна 50. Чтобы найти сумму катетов, нам нужно знать формулы, связанные с равнобедренным прямоугольным треугольником.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и гипотенузой \(c\) площадь можно найти как половину произведения катетов:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - катеты.

Подставим известное значение площади треугольника равнобедренного прямоугольного треугольника:

\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 50\]

Таким образом, мы имеем одно уравнение с двумя неизвестными. Вернитесь ко второму уравнению, что площадь равнобедренного прямоугольного треугольника также равна половине произведения катетов:

\[a \cdot b = 100\]

Теперь нам нужно найти сумму катетов, то есть \(a + b\). Мы можем возвести уравнение a * b = 100 в степень 0.5, чтобы найти квадратный корень от произведения катетов:

\[\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{100} = 10\]

Теперь мы знаем, что \(a \cdot b = 100\) и \(a + b = 10\), и мы хотим найти \(a + b\).

Найдем разность квадратов этих чисел:

\[(a + b)^2 - 4 \cdot a \cdot b = (10)^2 - 4 \cdot 100 = 100 - 400 = -300\]

Таким образом, разность квадратов равна -300.

Следовательно, у нас есть комплексные корни, и сумма катетов невозможна.

4. Нам дано, что площадь прямоугольного треугольника равна 30, а один катет равен 6. Чтобы найти второй катет, мы можем использовать формулу для площади прямоугольного треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - катеты.

Подставим известные значения площади и одного катета:

\[30 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot b\]

Раскроем скобки:

\[30 = 3 \cdot b\]

Теперь разделим обе стороны на 3, чтобы найти второй катет:

\[b = 10\]

Таким образом, второй катет прямоугольного треугольника равен 10.

5. Нам дано, что высота треугольника ABC равна CF, а AB = 15 см.

Чтобы найти площадь треугольника ABC, мы должны знать длину основания треугольника и его высоту. В данном случае, высота CF является высотой треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CF\]

Подставим известные значения:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot CF = 7.5 \cdot CF\]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна \(7.5 \cdot CF\) квадратных сантиметров.