Каков объем цилиндра, если он вписан в призму с боковым ребром 3 см, и основание призмы представляет собой

Конечно! Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Для начала определим формулу объема цилиндра. Он равен произведению площади основания на высоту. Обозначим объем цилиндра как \(V\), площадь основания как \(A\) и высоту как \(h\).

2. Пусть сторона прямоугольного треугольника с катетом 4 и острым углом 60 градусов будет основанием призмы. Тогда площадь основания вычисляется по формуле: \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) — катеты прямоугольного треугольника. Подставим известные значения: \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\) (квадратных сантиметров).

3. Теперь нам нужно найти высоту цилиндра. Возьмем боковое ребро призмы как диаметр основания цилиндра. Поскольку диаметр равен двум радиусам, а радиус равен половине диаметра, то радиус \(r\) равен \(\frac{3}{2}\) сантиметра.

4. Обратимся к треугольнику, вписанному в призму. Мы знаем, что это равнобедренный треугольник, так как две его стороны равны сторонам основания призмы. Поэтому, используя теорему Пифагора, найдем высоту треугольника \(h_2\): \(h_2 = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}\) (сантиметров).

5. Так как радиус цилиндра и высота треугольника совпадают, то высота цилиндра \(h\) равна \(\sqrt{15}\) (сантиметров).

6. Теперь можем найти объем цилиндра, подставив значения в формулу: \(V = A \cdot h = 8 \cdot \sqrt{15}\) (кубических сантиметров).

Итак, объем вписанного в призму цилиндра равен \(8 \cdot \sqrt{15}\) кубических сантиметров.