1. Какова площадь ортогональной проекции прямоугольного треугольника на плоскость, составляющую угол 60° с плоскостью

1. Чтобы решить эту задачу, нам понадобится найти проекцию треугольника на плоскость, образующую угол 60° с плоскостью треугольника. Для этого будем использовать формулу для проекции вектора на другой вектор.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник с катетами 6 и 9 см. Для начала найдем вектор, образующий плоскость проекции. Этот вектор будет направлен вдоль нормали к плоскости, образующей угол 60° с плоскостью треугольника. Нормаль к плоскости задается координатами (1, 0, -1), так как угол между нормалью и плоскостью треугольника равен 60°.

Теперь найдем проекцию каждой стороны треугольника на этот вектор, используя формулу проекции вектора A на вектор B, где A и B – векторы:

$$\text{Проекция(A на B)}=\frac{\text{A}\cdot \text{B}}{\Vert \text{B}{\Vert }^2}\cdot \text{B}$$

Площадь ортогональной проекции треугольника будет равна сумме квадратов длин проекций его сторон на плоскость:

$$\text{Площадь проекции}={\text{Проекция(сторона1)}}^2+{\text{Проекция(сторона2)}}^2+{\text{Проекция(сторона3)}}^2$$

2. Для данной задачи, чтобы определить, находится ли точка в плоскости или на оси, мы рассмотрим её координаты.

А) Чтобы определить, находится ли точка в плоскости хОz, мы проверяем, является ли координата у равной нулю. Если это так, то точка находится в плоскости хОz. В данном случае, точка А (0,6,0) находится в плоскости хОz, так как её координата у равна нулю.

Б) Чтобы определить, находится ли точка на оси у, мы проверяем, являются ли координаты х и z равными нулю. Если это так, то точка лежит на оси у. В данном случае, точки В (0,3,3) и D (1,0,9) находятся на оси у, так как их координаты х и z равны нулю.

В) Чтобы определить, находится ли точка в плоскости уz, мы проверяем, является ли координата х равной нулю. Если это так, то точка находится в плоскости уz. В данном случае, точка С (3,4,8) находится в плоскости уz, так как её координата х равна нулю.

3. Чтобы определить, каким является четырехугольник АВСD, мы можем рассмотреть длины его сторон и углы между ними.

Для начала, найдем длины сторон четырехугольника. Длина стороны можно найти, используя формулу расстояния между двумя точками:

$$\text{Длина стороны}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$$

Мы можем вычислить длины сторон АВ, BC, CD и DA, а затем сравнить их значения.

Для определения типа четырехугольника, нужно рассмотреть углы между сторонами. Если все углы четырехугольника острые (меньше 90°), то он будет являться остроугольным. Если хотя бы один угол четырехугольника прямой (равен 90°), то он будет прямоугольным. Если хотя бы один угол четырехугольника тупой (больше 90°), то он будет тупоугольным.

4. Чтобы найти координаты и модуль вектора ВА, нужно воспользоваться формулой для вычисления вектора, который направлен из точки А в точку В:

$$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}$$

Вычитая соответствующие координаты векторов B и A, мы получим координаты вектора BA.

Чтобы вычислить модуль вектора, нужно использовать формулу для вычисления длины вектора. Длина вектора BA будет равна:

$$|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$$

5. Чтобы найти угол между векторами СА и СВ, нужно воспользоваться формулой для вычисления косинуса угла между двумя векторами:

$$\cos (\theta )=\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{A}|\cdot |\overrightarrow{B}|}$$

Где $\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{B}$ - это векторы СА и СВ, соответственно. Используя значения координат векторов, мы можем вычислить скалярное произведение $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}$ и модули векторов. Затем, подставляя эти значения в формулу, мы найдем косинус угла $\theta$, а затем с помощью тригонометрической функции arccos вычислим сам угол $\theta$ (в радианах или градусах).