1. Какова площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды с высотой 6 и двугранными углами

Задача 1: Для нахождения площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды нам понадобятся высота \(h\) и двугранные углы \(\alpha\) при основании.

Общая формула для вычисления площади боковой поверхности пирамиды составляет:

\[P = \frac{{\text{{Периметр основания}} \times \text{{Высота}}}}{2}\]

У правильной четырехугольной пирамиды основание - ромб, и периметр основания равен \(4 \times a\), где \(a\) - длина стороны ромба.

Периметр ромба можно выразить через угол \(\alpha\) при основании:

\[P_{\text{{ромб}}} = 4 \times a = 4 \times \frac{{2R \sin(\alpha/2)}}{{\sqrt{3}}}\]

где \(R\) - радиус описанной окружности ромба.

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

\[P = \frac{{4 \times \frac{{2R \sin(\alpha/2)}}{{\sqrt{3}}}} \times h}}{2}\]

Высоту \(h\) нам уже дано в условии задачи, она равна 6, а угол \(\alpha\) равен 60°.

Чтобы найти радиус описанной окружности ромба, воспользуемся теоремой синусов:

\[\frac{{R}}{{\sin(\alpha)}} = \frac{{a}}{{\sin(90°)}} \implies R = \frac{{a}}{{\sin(\alpha)}}\]

Подставим значения:

\[R = \frac{{\frac{{2R \sin(\alpha/2)}}{{\sqrt{3}}}}}{{\sin(\alpha)}} \implies R = \frac{{2 \sin(\alpha/2)}}{{\sqrt{3}}}\]

Теперь можем снова подставить в формулу:

\[P = \frac{{4 \times \frac{{2 \sin(\alpha/2)}}{{\sqrt{3}}} \times \sin(\alpha/2) \times h}}{2}\]

После простых алгебраических преобразований получим:

\[P = 4 \times \sin^2(\alpha/2) \times \frac{{h}}{{\sqrt{3}}}\]

Подставим значения угла \(\alpha\) (60°) и высоты \(h\) (6):

\[P = 4 \times \sin^2(60°/2) \times \frac{{6}}{{\sqrt{3}}} = 4 \times \left(\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\right)^2 \times \frac{{6}}{{\sqrt{3}}}\]

Произведем простые вычисления:

\[P = 4 \times \frac{{3}}{{4}} \times \frac{{6}}{{\sqrt{3}}} = 6 \times \frac{{2}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{12}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{12\sqrt{3}}}{{3}} = 4\sqrt{3}\]

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна \(4\sqrt{3}\).

Задача 2: Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды нам понадобятся апофема \(a\) и угол \(\alpha\) между апофемой и плоскостью основания.

Общая формула для вычисления объема пирамиды выглядит так:

\[V = \frac{{\text{{Площадь основания}} \times \text{{Высота}}}}{3}\]

У правильной треугольной пирамиды основание - равносторонний треугольник, а его площадь можно выразить через апофему \(a\) и длину стороны треугольника \(s\):

\[S_{\text{{треугольника}}} = \frac{{a \times s}}{2}\]

Подставим значение площади и апофемы в формулу объема:

\[V = \frac{{\frac{{a \times s}}{2} \times h}}{3}\]

В условии задачи дано значение апофемы (26) и угол \(\alpha\) (45°). Для нахождения стороны треугольника \(s\) воспользуемся тангенсом угла \(\alpha\):

\[\tan(\alpha) = \frac{{s/2}}{{a}} \implies s/2 = a \times \tan(\alpha)\]

Подставляем значения:

\[s/2 = 26 \times \tan(45°) = 26 \times 1 = 26\]

Теперь можем вычислить длину стороны треугольника \(s\):

\[s = 2 \times (s/2) = 2 \times 26 = 52\]

Подставим значения в формулу объема:

\[V = \frac{{\frac{{26 \times 52}}{2} \times h}}{3} = \frac{{676 \times 6}}{3} = \frac{{4056}}{3} = 1352\]

Ответ: Объем правильной треугольной пирамиды равен 1352.

Задача 3: Для нахождения высоты правильной четырехугольной пирамиды нам понадобятся площадь боковой поверхности \(P\) и объем \(V\).

Общая формула для вычисления площади боковой поверхности равносторонней пирамиды выглядит, как:

\[P = \frac{{\text{{Периметр основания}} \times \text{{Апофема}}}}{2}\]

У правильной четырехугольной пирамиды основание - квадрат, а его периметр можно выразить через длину стороны квадрата \(a\):

\[P_{\text{{квадрата}}} = 4 \times a\]

Теперь можем подставить значения в формулу:

\[P = \frac{{4 \times a \times h}}{2} = 2 \times a \times h\]

В условии задачи дано значение площади боковой поверхности (3) и объема (64). Подставим значения и получим систему уравнений:

\[\begin{cases} 3 = 2 \times a \times h \\ 64 = \frac{{a^2 \times h}}{3} \end{cases}\]

Из первого уравнения можем выразить \(a\) через \(h\):

\[2 \times a \times h = 3 \implies a = \frac{{3}}{{2h}}\]

Подставляем второе уравнение:

\[64 = \frac{{\left(\frac{{3}}{{2h}}\right)^2 \times h}}{3}\]

Выполняем простые алгебраические преобразования:

\[64 = \frac{{\frac{{9}}{{4h^2}} \times h}}{3} \implies 64 = \frac{{9}}{{4h}} \implies h = \frac{{9}}{{4 \times 64}} = \frac{{9}}{{256}}\]

Ответ: Высота правильной четырехугольной пирамиды равна \(\frac{{9}}{{256}}\).