1. Какова площадь боковой и полной поверхности прямого параллелепипеда с основаниями длиной 5 см и 7 см, угол между

1. Для начала, найдем высоту параллелепипеда. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный основаниями параллелепипеда и его меньшей диагональю. Так как угол между основаниями составляет 30 градусов, то у нас есть две известные стороны треугольника - это одна сторона основания (5 см) и гипотенуза (12 см).

Применим теорему синусов для нахождения высоты треугольника:
\[\sin(30°) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]
\[\sin(30°) = \frac{{h}}{{12}}\]

Решим уравнение относительно высоты \(h\):
\[h = 12 \cdot \sin(30°) = 12 \cdot \frac{{1}}{{2}} = 6 \text{{ см}}\]

Теперь, вычислим площадь боковой поверхности. Боковая поверхность параллелепипеда состоит из двух прямоугольников, площадь каждого из которых равна произведению ширины и высоты смежных сторон основания параллелепипеда:

\[S_{\text{{бок}}} = 2 \cdot (5 \text{{ см}} \cdot 6 \text{{ см}}) = 60 \text{{ см}}^2\]

Чтобы найти полную поверхность параллелепипеда, нужно добавить к боковой поверхности площади обеих оснований. Площадь одного основания равна произведению длины и ширины.

\[S_{\text{{полн}}} = S_{\text{{бок}}} + 2 \cdot (5 \text{{ см}} \cdot 7 \text{{ см}}) = 60 \text{{ см}}^2 + 70 \text{{ см}}^2 = 130 \text{{ см}}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна 60 см², а полной поверхности - 130 см².

2. Площадь боковой поверхности параллелепипеда можно вычислить следующим образом. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту.

Периметр основания равен сумме всех его сторон:
\[P_{\text{{осн}}} = 2 \cdot (6 \text{{ см}} + 8 \text{{ см}}) = 2 \cdot 14 \text{{ см}} = 28 \text{{ см}}\]

Площадь боковой поверхности равна:
\[S_{\text{{бок}}} = P_{\text{{осн}}} \cdot h\]
\[S_{\text{{бок}}} = 28 \text{{ см}} \cdot h\]

Чтобы найти площадь полной поверхности, нужно добавить к боковой площади площади двух оснований, которые равны произведению их сторон.

Разберемся с углом между диагональю и плоскостью основания. Так как диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, то у нас есть две известные стороны треугольника (ребро параллелепипеда и диагональ основания) и угол между ними (45 градусов).

Применим теорему синусов для нахождения другой стороны треугольника:
\[\sin(45°) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]
\[\sin(45°) = \frac{{d}}{{6}}\]

Решим уравнение относительно диагонали \(d\):
\[d = 6 \cdot \sin(45°) = 6 \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{{2}} = 3\sqrt{2} \text{{ см}}\]

Теперь, можно вычислить площади оснований:
\[S_{\text{{осн}}} = 6 \text{{ см}} \cdot 8 \text{{ см}} = 48 \text{{ см}}^2\]

Площадь полной поверхности равна:
\[S_{\text{{полн}}} = S_{\text{{бок}}} + 2 \cdot S_{\text{{осн}}} = 28 \text{{ см}} \cdot h + 2 \cdot 48 \text{{ см}}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности параллелепипеда равна \(28h\) квадратных сантиметров, где \(h\) - высота, а площадь полной поверхности равна \(28h + 96\) квадратных сантиметров.