1. Какова масса Марса при условии, что его радиус составляет 3397 км, а ускорение свободного падения на поверхности

1. Для решения данной задачи мы можем использовать закон всемирного тяготения, который гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя объектами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Мы хотим найти массу Марса, поэтому обозначим ее через \(M\). Затем воспользуемся формулой для ускорения свободного падения \(g\) на поверхности планеты:

\[g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\],

где \(G\) - гравитационная постоянная, \(R\) - радиус планеты, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Подставляя известные значения для Марса (\(R = 3397\) км и \(g = 3.7\) м/с²), мы можем найти массу Марса следующим образом:

\[\frac{{GM}}{{R^2}} = g \Rightarrow M = \frac{{g \cdot R^2}}{{G}}\].

Значение гравитационной постоянной \(G\) составляет \(6.67430 \times 10^{-11}\) м³/(кг·с²). Подставляем известные значения и рассчитываем массу Марса:

\[M = \frac{{3.7 \cdot (3397 \times 10^3)^2}}{{6.67430 \times 10^{-11}}}.\]

Получаем, что масса Марса составляет примерно \(641.71 \times 10^{21}\) кг.

2. Для решения данной задачи мы можем использовать закон всемирного тяготения аналогично первой задаче.

Мы хотим найти силу тяжести для аппарата, поэтому обозначим ее через \(F\). Затем воспользуемся формулой для ускорения свободного падения \(g\) на поверхности планеты:

\[g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\],

где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты, \(R\) - радиус планеты, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Подставим известные значения для Земли (\(R_{\text{Земли}} = 6371\) км и \(g_{\text{Земли}} = 9.8\) м/с²) и для Плутона (\(R_{\text{Плутона}} = 0.018 \cdot R_{\text{Земли}}\) и \(M_{\text{Плутона}} = 0.003 \cdot M_{\text{Земли}}\)) в формулу ускорения свободного падения:

\[g_{\text{Земли}} = \frac{{G \cdot M_{\text{Земли}}}}{{R_{\text{Земли}}^2}}\],

\[g_{\text{Плутона}} = \frac{{G \cdot M_{\text{Плутона}}}}{{R_{\text{Плутона}}^2}}\].

Выразим гравитационную постоянную \(G\) из первого уравнения и подставим во второе:

\[g_{\text{Плутона}} = \frac{{g_{\text{Земли}} \cdot M_{\text{Плутона}}}}{{M_{\text{Земли}}}} \cdot \left(\frac{{R_{\text{Земли}}}}{{R_{\text{Плутона}}}}\right)^2\].

Теперь найдем силу тяжести \(F\) для аппарата массой \(m = 276\) кг, используя второй закон Ньютона \(F = m \cdot g_{\text{Плутона}}\), где \(m\) - масса аппарата.

Подставляем известные значения и рассчитываем силу тяжести:

\[F = 276 \cdot \frac{{9.8 \cdot (0.003 \cdot M_{\text{Земли}})}}{{M_{\text{Земли}}} \cdot \left(\frac{{6371}}{{0.018 \cdot 6371}}\right)^2}.\]

Получаем, что сила тяжести для аппарата на поверхности Плутона составляет примерно \(0.171\) Н.

3. Для решения данной задачи мы можем использовать закон сохранения импульса, который гласит, что сумма импульсов системы до и после взаимодействия остается неизменной.

Пусть \(m_1\) и \(v_1\) - масса и скорость лодки до изменения, а \(m_2\) и \(v_2\) - масса и скорость лодки после изменения.

Из закона сохранения импульса следует, что

\[m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2\].

Мы знаем, что масса лодки увеличилась в 8,9 раза (\(m_2 = 8.9 \cdot m_1\)), а скорость уменьшилась в 4,2 раза (\(v_2 = \frac{{v_1}}{{4.2}}\)).

Подставим эти значения в уравнение сохранения импульса:

\[m_1 \cdot v_1 = (8.9 \cdot m_1) \cdot \left(\frac{{v_1}}{{4.2}}\right)\].

Сокращаем \(m_1\) с \(m_1\) и \(v_1\) с \(v_1\) на обеих сторонах уравнения:

\[1 = 8.9 \cdot \left(\frac{1}{4.2}\right).\]

Получаем, что модуль импульса лодки изменится в \(2.107\) раза относительно его первоначального значения.