1. Какова максимальная скорость груза, который колеблется гармонически с амплитудой 5 см и периодом 1 с? 2. Определите

1. Для данной задачи мы можем использовать формулу для максимальной скорости гармонического колебания \(v_{\text{max}} = A\omega\), где \(A\) - амплитуда колебания, а \(\omega\) - циклическая частота.

В данном случае, амплитуда колебания \(A\) равна 5 см, а период \(T\) равен 1 секунде. Чтобы найти циклическую частоту \(\omega\), мы можем воспользоваться формулой \(\omega = \frac{2\pi}{T}\), где \(2\pi\) - это радианная мера угла.

Вычислим циклическую частоту:
\[
\omega = \frac{2\pi}{1\, \text{с}} = 2\pi \, \text{рад/с}
\]

Теперь, подставим значения амплитуды и циклической частоты в формулу для максимальной скорости:
\[
v_{\text{max}} = 5\, \text{см} \times 2\pi \, \text{рад/с} = 10\pi \approx 31.42\, \text{см/с}
\]

Таким образом, максимальная скорость груза, который колеблется гармонически с амплитудой 5 см и периодом 1 с, составляет примерно 31.42 см/с.

2. Для данной задачи мы можем использовать уравнение гармонического колебания \(x = A\cos(\omega t + \phi)\), где \(A\) - амплитуда колебания, \(\omega\) - циклическая частота, \(t\) - время, и \(\phi\) - начальная фаза колебания.

Согласно уравнению \(x = 4\cos(20t + \frac{\pi}{2})\), мы видим, что амплитуда колебания \(A\) равна 4, а циклическая частота \(\omega\) равна 20 рад/с.

Циклическая частота \(\omega\) связана с частотой \(f\) по формуле \(\omega = 2\pi f\). Таким образом, мы можем выразить частоту, как \(f = \frac{\omega}{2\pi}\), и период \(T\), как \(T = \frac{1}{f}\).

Вычислим частоту и период:
\[
f = \frac{20\, \text{рад/с}}{2\pi} \approx 3.18\, \text{Гц}
\]
\[
T = \frac{1}{3.18\, \text{Гц}} \approx 0.314\, \text{с}
\]

Теперь, чтобы найти длину нити маятника, мы можем воспользоваться формулой для периода математического маятника \(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\), где \(l\) - длина нити маятника и \(g\) - ускорение свободного падения.

Из уравнения мы видим, что \(\frac{1}{f} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\). Теперь, мы можем выразить длину нити \(l\) и подставить значения периода \(T\) и ускорения свободного падения \(g = 9.8\, \text{м/с}^2\):
\[
l = \left(\frac{1}{f}\right)^2\frac{g}{4\pi^2} = \left(\frac{1}{3.18\, \text{Гц}}\right)^2\frac{9.8\, \text{м/с}^2}{4\pi^2} \approx 0.032\, \text{м} = 3.2\, \text{см}
\]

Таким образом, длина нити математического маятника с уравнением \(x = 4\cos(20t + \frac{\pi}{2})\) составляет примерно 3.2 см.