1. Какова формула, которая объясняет геометрический смысл производной? 2. Что равно (6х3) ? 3. Чему равно () ? 4. Какую

1. Геометрический смысл производной связан с изменением скорости или наклоном графика функции в определенной точке. Формально, производная функции f(x) в точке x_0 определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. То есть, математически это записывается как:

\[ f"(x_0) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}}{{\Delta x}} \]

2. Разберемся с выражением (6х^3)" по частям. Внутри скобок у нас стоит \(6х^3\), что означает 6 умножить на х в кубе. Теперь, если мы видим такой символ " после скобки, это означает, что производная должна быть взята от всего выражения в скобках. Если у нас есть функция вида \(y(x) = a \cdot x^n\), то производная этой функции будет \(y"(x) = n \cdot a \cdot x^{n-1}\). В нашем случае, мы имеем:

\[ (6х^3)" = 3 \cdot 6 \cdot x^{3-1} = 18x^2 \]

Таким образом, результатом вычисления выражения (6х^3)" будет \(18x^2\).

3. В задаче не указано, какое выражение должно стоять внутри скобок, поэтому невозможно дать точный ответ на этот вопрос. Если вы уточните содержимое скобок, я смогу помочь вам ответить.

4. Формула для вычисления производной скалярного произведения двух векторов u и v будет следующей:

\[ (u \cdot v)" = u" \cdot v + u \cdot v" \]

Где u" и v" обозначают производные векторов u и v соответственно. Это также называется правилом производной произведения.

5. Для вычисления производной выражения \((х-1)^5\) применим формулу для производной степенной функции. Если у нас есть функция \(f(x) = (x-a)^n\), то производная функции будет равна:

\[ f"(x) = n(x-a)^{n-1} \]

В нашем случае, мы замечаем, что \(a = 1\) и \(n = 5\), поэтому получаем:

\[ ((х-1)^5)" = 5(x-1)^{5-1} = 5(x-1)^4 \]

Таким образом, результатом вычисления выражения ((х-1)^5)" будет \(5(x-1)^4\).

6. Чтобы вычислить производную функции \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\) в точке \(x_0 = 1\), нам нужно применить формулу для производной многочлена. Если у нас есть функция \(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0\), то производная этой функции будет равна:

\[ f"(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \ldots + a_1 \]

В нашем случае, мы имеем \(n = 2\) и коэффициенты: \(a_2 = 2\), \(a_1 = -3\), \(a_0 = 1\). Подставляя значения в формулу, получаем:

\[ f"(x) = 2 \cdot 2x^{2-1} - 3 \cdot 1x^{1-1} = 4x - 3 \]

Таким образом, производная функции \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\) в точке \(x_0 = 1\) равна \(4 \cdot 1 - 3 = 1\).


7. Чтобы вычислить производную функции \((x^3 + 2x^4 - x)"\), нам нужно применить формулу для производной многочлена (аналогично предыдущей задаче). В нашем случае, у нас есть трехчлен \(f(x) = x^3 + 2x^4 - x\). Применяя формулу, получаем:

\((x^3 + 2x^4 - x)" = 3x^{3-1} + 4 \cdot 2x^{4-1} - 1 = 3x^2 + 8x^3 - 1 \)

Таким образом, производная функции \((x^2 + 2x^4 - x)"\) равна \(3x^2 + 8x^3 - 1\).

8. В задаче сформулировано неполное уравнение \(y = x\). Чтобы вычислить производную этой функции \(y"(x)\), нам придется знать, какая математическая операция должна быть выполнена с \(x\). Если у нас есть \(y = f(x)\), и \(f(x)\) может быть найдена, то мы можем вычислить производную с помощью предыдущих правил. Если есть уточнение в задаче, я смогу помочь вычислить производную функции \(y = x\) в данном случае.