1. Какова длина стороны ВС прямоугольника, если его площадь равна 15 и АВ = 3? 2. Чему равна медиана, проведенная

1. Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для площади прямоугольника \(S = a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) - длины его сторон. Известно, что площадь прямоугольника равна 15, а длина стороны \(AB\) равна 3. Подставим эти значения в формулу и решим уравнение:

\[15 = 3 \cdot b\]

Для нахождения длины стороны \(BC\) нам нужно разделить обе части уравнения на 3:

\[b = \frac{15}{3} = 5\]

Таким образом, длина стороны \(BC\) прямоугольника равна 5.

2. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине длины гипотенузы. В данной задаче гипотенуза равна 14, поэтому медиана будет равна:

\[\frac{14}{2} = 7\]

Значит, медиана, проведенная к гипотенузе, равна 7.

3. Пусть \(x\) - это меньший из двух острых углов, а \(y\) - больший угол. Из условия задачи известно, что \(\frac{x}{y} = \frac{4}{5}\). Мы знаем, что сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов, поэтому мы можем записать уравнение:

\[x + y + 90 = 180\]

Решим это уравнение для переменной \(y\):

\[y = 180 - x - 90 = 90 - x\]

Подставим это выражение в уравнение \(\frac{x}{y} = \frac{4}{5}\):

\[\frac{x}{90 - x} = \frac{4}{5}\]

Перемножим обе части уравнения на \(5(90 - x)\):

\[5x = 4(90 - x)\]

Распределим множество:

\[5x = 360 - 4x\]

Добавим \(4x\) к обеим сторонам уравнения:

\[9x = 360\]

Разделим обе стороны на 9:

\[x = 40\]

Таким образом, меньший из двух острых углов равен 40 градусов, а больший угол \(y = 90 - x = 90 - 40 = 50\) градусов.

4. Для решения данной задачи мы можем использовать подобие треугольников. Мы знаем, что человек ростом 1,7 метра стоит на расстоянии 12 шагов от столба, а его тень равна двум шагам. Обозначим высоту столба \(h\), тогда можно составить пропорцию между длинами соответствующих сторон:

\(\frac{{1,7}}{{h}} = \frac{{2}}{{12}}\)

Мы можем упростить пропорцию, перемножив обе стороны на 12:

\(1,7 = \frac{{2 \cdot h}}{{12}}\)

Умножим 2 на \(h\):

\(1,7 = \frac{{2h}}{{12}}\)

Умножим обе стороны на 12:

\(12 \cdot 1,7 = 2h\)

Рассчитаем выражение:

\(20,4 = 2h\)

Разделим обе стороны на 2:

\(h = \frac{{20,4}}{{2}}\)

Таким образом, фонарь находится на высоте \(h = 10,2\) метра.

5. Чтобы понять, где прямая касается окружности, нужно обратиться к основным свойствам окружности. Прямая касается окружности только в одной точке - точке касания.

Если прямая проходит через центр окружности, то она будет касаться окружности в каждой точке. В противном случае, чтобы определить точку касания, нарисуем перпендикуляр к прямой, проходящей через точку, где прямая и окружность пересекаются, и проходящий через центр окружности. Точка пересечения перпендикуляра с окружностью будет точкой касания.

Давайте предположим, что у нас есть окружность с центром в точке \(O\) и прямая \(l\), которая пересекает окружность в точках \(A\) и \(B\). Чтобы найти точку касания, нарисуем перпендикуляр \(OC\) к прямой \(l\) и проведем его через центр окружности \(O\). Предположим, что перпендикуляр пересекает линию \(l\) в точке \(D\). Точка \(D\) будет точкой касания.

Таким образом, прямая касается окружности в точке \(\boxed{D}\).