1) Какова длина расстояния от точки М до сторон квадрата, если она находится на одинаковом расстоянии от всех сторон

Задача 1:
Для решения данной задачи, нам потребуется построить схему и воспользоваться геометрическими свойствами квадрата.

Для начала обозначим вершины квадрата следующим образом: A, B, C, D, где A - это верхний левый угол, B - верхний правый угол, C - нижний правый угол, D - нижний левый угол.

Точка M находится на одинаковом расстоянии от всех сторон квадрата. Это значит, что она находится на пересечении перпендикуляров, опущенных от середин сторон квадрата. Обозначим середины сторон как E, F, G и H, где E - середина стороны AB, F - середина стороны BC, G - середина стороны CD, H - середина стороны AD.

Также дано, что точка М находится на расстоянии 9 см от плоскости квадрата. Обозначим эту плоскость как alpha.

Построим схему:
\[
\begin{array}{c|c|c|c}
A & E & B & F \\
\hline
D & H & C & G \\
\end{array}
\]

Объединим точки B, F и G:
BF и BG - это высоты, опущенные из вершин B и G, а М - точка пересечения этих высот.

\[
\begin{array}{c|c|c|c}
A & E & B & F \\
\hline
D & H & C & G \\
& & \uparrow & \uparrow \\
& & M & \\
\end{array}
\]

Теперь обратимся к прямоугольному треугольнику BMG.

Так как БМ и ВГ - это радиусы окружности, то можно заметить, что треугольник BMG является равнобедренным, так как БМ = ВГ и угол БMG равен 90 градусам (перпендикулярность).

Обозначим сторону квадрата как а.
Так как треугольник BMG является равнобедренным, то можно сказать, что МА - это медиана треугольника BMG, а значит она делит BG пополам.
Также из свойств равнобедренного треугольника можно сказать, что угол БМА равен 45 градусам, так как угол БМG 90 градусов, и угол МГА также 45 градусов.

Построим треугольник BMА:
\[
\begin{array}{c|c|c|c}
A & E & B & F \\
\hline
D & H & C & G \\
& & \uparrow & \uparrow \\
& & M & \\
& & \downarrow & \\
& & A & \\
\end{array}
\]

Теперь посчитаем длину стороны квадрата. Так как BMG - это равнобедренный прямоугольный треугольник, то BG = a, BM = BG/2 = a/2.

Теперь посчитаем длину стороны треугольника BMА с помощью теоремы Пифагора:
\[
BA^2 = BM^2 + MA^2
\]
Угол МБА - 45 градусов и поэтому треугольник БМА - прямоугольный.
Так как BM = a/2 и угол МБА - 45 градусов, то получаем:
\[
BA^2 = (a/2)^2 + MA^2
\]
\[
BA^2 = a^2/4 + MA^2
\]

Также известно, что МА - это медиана треугольника BMG, а значит она делит BG пополам. То есть MA = BG/2 = a/2.

Подставим полученные значения в уравнение:
\[
BA^2 = a^2/4 + (a/2)^2
\]
\[
BA^2 = a^2/4 + a^2/4
\]
\[
BA^2 = a^2/2
\]
\[
BA = \sqrt{a^2/2}
\]
\[
BA = \sqrt{2} \cdot \frac{a}{2}
\]
\[
BA = \frac{a\sqrt{2}}{2}
\]

Ответ: Длина расстояния от точки М до стороны квадрата равна \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Задача 2:
Для решения данной задачи, мы также воспользуемся геометрическими свойствами и построим схему.

Дано, что угол между проекциями наклонных AB и AC на плоскость альфа равен 150 градусов. Также известно, что углы между наклонными AB и AC соответственно равны 45 и 60 градусов.
Обозначим точки проекций на плоскость альфа как B" и C". Точка A находится на расстоянии 9 см от плоскости альфа.

Построим схему:
\[
\begin{array}{c|c|c}
& & B" \\
\hline
& A & \\
\hline
& & C" \\
\end{array}
\]

Также обозначим точки проекций на плоскость альфа как D и E, где D - проекция точки B на плоскость альфа, а E - проекция точки C на плоскость альфа.

Построим схему:
\[
\begin{array}{c|c|c}
& & B" \\
\hline
& A & \\
\hline
D & & C" \\
\hline
& E & \\
\end{array}
\]

Так как угол между проекциями AB" и AC" равен 150 градусов, то можно заметить, что треугольник AB"C" - это остроугольный треугольник.

Так как углы между наклонными AB и AC равны 45 и 60 градусов, то можно заметить, что треугольник ABC - это прямоугольный треугольник.

Построим схему треугольника ABC:
\[
\begin{array}{c|c|c}
& & B" \\
\hline
& A & \\
\hline
D & & C" \\
\hline
& E & \\
\hline
B & & C \\
\end{array}
\]

Так как треугольник ABC - прямоугольный, то можно использовать тригонометрию для нахождения стороны BC (расстояние между точками B и C).

Обозначим стороны треугольника ABC как a, b и c, где a - это сторона AC, b - сторона AB и c - сторона BC. Также обозначим угол между наклонными AB и AC как угол A.

Используя тригонометрический закон косинусов для треугольника ABC получаем следующее уравнение:
\[
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos A
\]

Так как угол A равен 90 градусам (прямой угол), то \(\cos A = 0\). Упростим уравнение:
\[
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot 0
\]
\[
b^2 = a^2 + c^2
\]

Так как углы между наклонными AB и AC соответственно равны 45 и 60 градусов, то стороны a и b равны по длине, то есть a = b.

Подставим полученное значение в уравнение:
\[
b^2 = b^2 + c^2
\]
\[
c^2 = 0
\]
\[
c = 0
\]

Ответ: Расстояние между точками B и C равно 0.

Надеюсь, ответ был полезным для вашего понимания задач.