1. Какова длина проекции наклонной АК на плоскость α, если длина наклонной равна 8 см, а угол между наклонной

Задача 1:

Для решения данной задачи нам понадобится три величины: длина наклонной (AK), угол между наклонной и плоскостью (α) и длина проекции наклонной на плоскость (давайте обозначим ее как x).

Мы можем использовать геометрический подход для решения этой задачи. Рассмотрим треугольник АКМ, где АК - наклонная, а М - проекция точки К на плоскость α.

Для начала найдем значение длины МК.

Мы уже знаем длину наклонной, которая равна 8 см. Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник, то можем применить теорему Пифагора:

\[AM^2 = AK^2 - MK^2\]

\[MK^2 = AK^2 - AM^2\]

Подставим значения:

\[MK^2 = 8^2 - x^2\]

Далее нам нужно определить значения сторон треугольника АКМ. У нас есть угол, образованный между плоскостью и наклонной, равный 60°. Значит, угол, образованный между наклонной и проекцией (АМ и КМ), также будет 60°.

Мы также знаем, что угол между прямой АМ и плоскостью α будет прямым. Это говорит о том, что угол между наклонной (АК) и проекцией (АМ) также будет прямым.

Таким образом, у нас имеется прямоугольный треугольник АМК с углом 90°, а также двумя равными углами 60°.

Теперь можем использовать соответствующие тригонометрические отношения.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике со сторонами 15, x и гипотенузой 8 (так как AK = 8 см), синус угла 60° будет равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

\[\sin(60°) = \frac{x}{8}\]

Распространяя это выражение, получим:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{8}\]

Теперь разрешим это уравнение относительно x:

\[x = \frac{8 \cdot \sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \, \text{см}\]

Таким образом, длина проекции наклонной АК на плоскость α равна \(4\sqrt{3}\) см.

Задача 2:

Мы должны найти значение синуса угла между прямыми A1D1 и AC в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1. У нас уже есть даны длины ребер AB, AD и AA1.

Для начала, нарисуем схематичный рисунок параллелепипеда с прямыми A1D1 и AC: