1) Какова длина каждой диагонали прямоугольника, если сумма их длин равна 15 см? 2) Чему равна длина каждой диагонали

Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди и решим их шаг за шагом.

1) Длины диагоналей прямоугольника обозначим как \(d_1\) и \(d_2\). По условию задачи сумма их длин равна 15 см, то есть \(d_1 + d_2 = 15\).

Для решения этой задачи нам понадобятся два свойства прямоугольников. Первое свойство заключается в том, что диагонали прямоугольника равны по длине. Второе свойство гласит, что диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника.

Теперь давайте воспользуемся этими свойствами, чтобы решить задачу. По первому свойству справедливо равенство: \(d_1 = d_2\).

По второму свойству, воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой \(d_1\) и катетами, равными сторонам прямоугольника. Тогда получим следующее уравнение:
\[\sqrt{{a^2 + b^2}} = d_1,\]
где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

Так как \(d_1 = d_2\), то и для второй диагонали также имеем:
\[\sqrt{{a^2 + b^2}} = d_2.\]

Теперь, чтобы найти значения диагоналей, нужно решить систему уравнений:
\[\begin{cases} d_1 + d_2 = 15, \\ \sqrt{{a^2 + b^2}} = d_1, \\ \sqrt{{a^2 + b^2}} = d_2. \end{cases}\]

Давайте воспользуемся методом замещения, чтобы решить эту систему уравнений. Выразим одну из диагоналей (допустим \(d_1\)) через вторую диагональ:
\[d_1 = 15 - d_2.\]
Теперь подставим это выражение в уравнение для второй диагонали:
\[\sqrt{{a^2 + b^2}} = 15 - d_2.\]
Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[a^2 + b^2 = (15 - d_2)^2.\]
Поскольку \(d_1 = d_2\) (согласно первому свойству прямоугольника), можно заменить вторую диагональ в уравнении:
\[a^2 + b^2 = (15 - d_1)^2.\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\[\begin{cases} d_1 + d_2 = 15, \\ a^2 + b^2 = (15 - d_1)^2. \end{cases}\]

Чтобы решить эту систему, заметим, что второе уравнение является квадратным уравнением для \(a^2 + b^2\). Разрешим его относительно \(a^2 + b^2\):
\[a^2 + b^2 = (15 - d_1)^2.\]
\[a^2 + b^2 = 225 - 30d_1 + d_1^2.\]

Теперь подставим это уравнение в первое уравнение системы:
\[(15 - d_1) + d_1 = 15.\]
\[15 - d_1 + d_1 = 15.\]
\[15 = 15.\]

Так как оба уравнения выполняются для любых значений \(d_1\) и \(d_2\) (включая равные длины диагоналей), возможный ответ на эту задачу будет следующим: длина каждой диагонали прямоугольника может быть любым числом, таким что их сумма равна 15 см.

2) Для квадрата обозначим длины диагоналей как \(d_1\) и \(d_2\). По условию задачи сумма их длин составляет 25 см, то есть \(d_1 + d_2 = 25\).

В отличие от прямоугольника, у квадрата все стороны равны между собой. Обозначим длину стороны квадрата как \(s\). Тогда по свойствам квадрата можно сказать, что диагонали \(d_1\) и \(d_2\) являются его сторонами.

Таким образом, имеем уравнение:
\[d_1 + d_2 = 2s.\]

Подставим данное в условии задачи уравнение:
\[2s = 25.\]

Теперь поделим обе части уравнения на 2:
\[s = \frac{{25}}{{2}}.\]

Таким образом, каждая сторона квадрата равна \(\frac{{25}}{{2}}\) см.

Чтобы найти длину каждой диагонали, воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой \(d_1\) и катетами \(s\). Тогда получим следующее уравнение:
\[\sqrt{{s^2 + s^2}} = d_1.\]
\[\sqrt{{2s^2}} = d_1.\]
\[\sqrt{{2 \cdot \left(\frac{{25}}{{2}}\right)^2}} = d_1.\]
\[\sqrt{{2 \cdot \frac{{625}}{{4}}}} = d_1.\]
\[\sqrt{{\frac{{625}}{{2}}}} = d_1.\]
\[\frac{{25\sqrt{{2}}}}{{2}} = d_1.\]

Так как \(d_1 = d_2\) (согласно свойству квадрата), длина каждой диагонали квадрата равна \(\frac{{25\sqrt{{2}}}}{{2}}\) см.

Это является подробным и обоснованным решением обеих задач. Надеюсь, это помогло вам понять решение и узнать, как получить ответы. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!