1) Каков угол, на который следует опустить дула орудий форта, чтобы они были направлены на подводную лодку, если

1) Чтобы определить угол, на который следует опустить дула орудий, чтобы они были направлены на подводную лодку, воспользуемся теорией треугольников.

У нас есть прямоугольный треугольник, где один катет равен 330 метров (высота орудий над уровнем воды) и гипотенуза равна 1500 метров (расстояние от форта до лодки).

Для определения угла воспользуемся тригонометрической функцией тангенс:

\[\tan(\alpha) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}} = \frac{{330}}{{1500}}\]

Теперь найдем значение угла \(\alpha\):

\[\alpha = \arctan\left(\frac{{330}}{{1500}}\right) \approx 12.69^\circ\]

Таким образом, угол, на который следует опустить дула орудий форта, чтобы они были направлены на подводную лодку, составляет около 12.69 градусов.

2) Для определения расстояния (по горизонтали) от батареи до мишени, воспользуемся также теорией треугольников.

У нас есть прямоугольный треугольник, где один катет равен 1700 метров (высота самолета) и угол между горизонтом и прямой, соединяющей наблюдателя на батарее и самолет, равен 25 градусов.

Для определения горизонтального расстояния воспользуемся тригонометрической функцией тангенс:

\[\tan(\alpha) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}} = \tan(90^\circ - 25^\circ)\]

Теперь найдем значение угла \(\alpha\):

\[\alpha = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ\]

Далее, найдем расстояние (по горизонтали) от батареи до мишени, используя теорему тангенсов:

\[\text{{Расстояние}} = \frac{{\text{{высота самолета}}}}{{\tan(\text{{угол}})}}\]

\[\text{{Расстояние}} = \frac{{1700}}{{\tan(65^\circ)}}\]

\[\text{{Расстояние}} \approx 844.14 \text{{ метров}}\]

Таким образом, расстояние (по горизонтали) от батареи до мишени составляет примерно 844.14 метра.

3) Для определения наибольшего допустимого угла железнодорожной линии размером 10 метров на расстоянии 1 километра по горизонтали, используется понятие горизонтального преломления.

Наибольший допустимый угол определяется, когда горизонтальная компонента расстояния (10 метров) равна расстоянию до линии зрения.

Мы можем использовать теорему сходных треугольников для определения угла:

\[\tan(\alpha) = \frac{{\text{{горизонтальная компонента}}}}{{\text{{расстояние до линии зрения}}}} = \frac{{10}}{{1000}}\]

Теперь найдем значение угла \(\alpha\):

\[\alpha = \arctan\left(\frac{{10}}{{1000}}\right)\]

\[\alpha \approx 0.57^\circ\]

Таким образом, наибольший допустимый угол железнодорожной линии размером 10 метров на расстоянии 1 километра по горизонтали составляет примерно 0.57 градусов.