1) Каков общий путь подъема тела массой m без начальной скорости с поверхности земли под воздействием силы

Задача 1:

Для решения данной задачи мы можем использовать принцип сохранения энергии. Общий путь подъема тела m можно разделить на маленькие участки \(\Delta h\) высотой, на каждом из которых сила f меняется слабо. Рассмотрим такой участок высотой \(\Delta h\).

На этом участке работу силы f можно записать как произведение модуля силы на перемещение тела: \(A = F \cdot s\). Величина силы f равна \(-2mg(l-ay)\), а перемещение s равно \(\Delta h\). Таким образом, работу силы f на данном участке можно записать как:

\[A = (-2mg(l-ay)) \cdot \Delta h\]

Работу силы тяжести можно также записать как произведение модуля силы тяжести на перемещение тела: \(A_{тяж} = mg \cdot s\). Здесь модуль силы тяжести равен mg, а перемещение s также равно \(\Delta h\). Таким образом, работу силы тяжести на данном участке можно записать как:

\[A_{тяж} = mg \cdot \Delta h\]

В сумме работа силы f и работа силы тяжести должны равняться изменению потенциальной энергии тела:

\[A + A_{тяж} = \Delta U\]

Известно, что потенциальная энергия тела определяется высотой h и равна \(U = mgh\). Таким образом, изменение потенциальной энергии на данном участке можно записать как:

\[\Delta U = mgh - 0 = mgh\]

Подставляя выражения для работ и изменения потенциальной энергии в уравнение, получаем:

\[( -2mg(l-ay) \cdot \Delta h) + (mg \cdot \Delta h) = mgh\]

Раскрываем скобки и упрощаем выражение:

\(-2mg(l-ay) \cdot \Delta h + mg \cdot \Delta h = mgh\)

\(-2mgl + 2mgay + mgh = mgh\)

Сокращаем mgh:

\(-2mgl + 2mgay = 0\)

Делим на 2mg:

\(-gl + ay = 0\)

Выражая h через l и a получаем:

\[h = \frac{al}{g}\]

Таким образом, общий путь подъема тела m без начальной скорости можно выразить как \(h = \frac{al}{g}\).

Задача 2:

Для определения работы силы f на первой трети пути нам необходимо рассмотреть только первую треть общего пути подъема тела m. Общий путь подъема равен \(h = \frac{al}{g}\). Таким образом, первая треть пути составляет \(h_1 = \frac{al}{3g}\).

Работу силы f на первой трети пути можно найти, используя выражение для работы на участке \(\Delta h\):

\[A = (-2mg(l-ay)) \cdot \Delta h\]

В данном случае \(\Delta h\) равно \(h_1\), а соответствующее значение силы f также можно записать как \(f_1 = f(h_1)\). Таким образом, работу силы f на первой трети пути можно записать как:

\[A_1 = (-2mg(l-ay)) \cdot h_1 = (-2mg(l-ay)) \cdot \frac{al}{3g}\]

Упрощаем выражение:

\[A_1 = (-2mgl + 2mgay) \cdot \frac{al}{3g}\]

Сокращаем mg и a:

\[A_1 = (-2gl + 2ay) \cdot \frac{al}{3}\]

Таким образом, работа силы f на первой трети пути подъема тела m без начальной скорости с поверхности земли равна \((-2gl + 2ay) \cdot \frac{al}{3}\).