1) Каков объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если ∠BDA=30°, DD1=5см и AB=12см? 2) Найдите объем

сторона основания равна 5см?
Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.
1) Подробное решение первой задачи:
Для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда, нам нужно знать его длину, ширину и высоту. В данной задаче, мы имеем следующие данные:
Угол BDA равен 30°, DD1 равно 5см и AB равно 12см.
Нам необходимо найти объем параллелепипеда.

Для начала, найдем длину BD. Так как BDA - прямой угол, то треугольник BDA является прямоугольным. Мы знаем угол BDA равен 30° и одну сторону DD1 равно 5см.
Мы можем использовать тригонометрическую функцию (тангенс) для нахождения длины BD.
Тангенс угла BDA равен отношению противолежащего катета (DD1) к прилежащему катету (BD).

\[\tan(30°) = \frac{DD1}{BD}\]
\[BD = \frac{DD1}{\tan(30°)}\]
\[BD = \frac{5 \text{ см}}{\tan(30°)}\]

Далее, найдем площадь прямоугольника ABCD. У нас есть сторона AB равна 12см, а сторона BD мы только что нашли.

\[S_{ABCD} = AB \cdot BD\]
\[S_{ABCD} = 12 \text{ см} \cdot \left(\frac{5 \text{ см}}{\tan(30°)}\right)\]

Наконец, объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен произведению площади основания ABCD на высоту параллелепипеда, которая равна AA1 (или B1C1) = DD1.

\[V_{ABCDA1B1C1D1} = S_{ABCD} \cdot AA1\]
\[V_{ABCDA1B1C1D1} = 12 \text{ см} \cdot \left(\frac{5 \text{ см}}{\tan(30°)}\right) \cdot 5 \text{ см}\]

2) Подробное решение второй задачи:
Для нахождения объема параллелепипеда DEFGD1E1F1G1, нам нужно знать его длину, ширину и высоту. В данной задаче, мы имеем следующие данные:
DE равно 3см, DG равно 4см и угол между диагональю параллелепипеда и основанием равен 45°.
Нам необходимо найти объем параллелепипеда.

Для начала, найдем площадь треугольников DEG и DEF. У нас есть стороны DE и DG, а угол между ними равен 45°.

Строим высоту DH, проведенную из вершины D к основанию EG.
Поскольку треугольник DEG - прямоугольный, мы можем использовать тригонометрическую функцию синус для нахождения высоты DH.

\[\sin(45°) = \frac{DH}{DE}\]
\[DH = DE \cdot \sin(45°)\]
\[DH = 3 \text{ см} \cdot \sin(45°)\]

Площадь треугольника DEG равна половине произведения сторон DE и DH.

\[S_{DEG} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot DH\]
\[S_{DEG} = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} \cdot \sin(45°)\]

Аналогично, площадь треугольника DEF можно выразить так:

\[S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot DG \cdot DH\]
\[S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} \cdot \sin(45°)\]

Затем, мы можем найти площадь основания параллелепипеда, сложив площади треугольников DEG и DEF.

\[S_{DEFG} = S_{DEG} + S_{DEF}\]

И, наконец, объем прямоугольного параллелепипеда DEFGD1E1F1G1 равен произведению площади основания DEFG на высоту параллелепипеда, которая равна EE1 (или F1G1) = DG.

\[V_{DEFGD1E1F1G1} = S_{DEFG} \cdot EE1\]
\[V_{DEFGD1E1F1G1} = S_{DEFG} \cdot DG\]

3) Подробное решение третьей задачи:
У нас есть объем прямой девятиугольной призмы, равный 40см³. Также нам дано, что площадь основания увеличили в 7 раз, а длину высоты призмы уменьшили в 10 раз.
Нам нужно найти новый объем получившейся призмы.

Для начала, найдем площадь основания и высоту исходной призмы. Пусть S будет площадью основания и Н - высотой.

Из условия задачи, у нас следующие соотношения:
\[S" = 7S\]
\[H" = \frac{H}{10}\]

Теперь мы можем рассчитать новый объем призмы, используя полученные данные:

\[V" = S" \cdot H"\]
\[V" = (7S) \cdot \left(\frac{H}{10}\right)\]
\[V" = \frac{7SH}{10}\]

Нам нужно найти новый объем призмы, поэтому мы можем подставить исходный объем (40см³) и решить уравнение:

\[40 = \frac{7SH}{10}\]

Домножаем обе стороны на 10:

\[400 = 7SH\]

Наконец, находим новый объем V":

\[V" = \frac{400}{7}\]

4) Подробное решение четвертой задачи:
Для нахождения объема правильной треугольной призмы, нам нужно знать длину стороны основания и длину диагонали боковой грани, образующей угол 60 градусов с плоскостью основания.
В данной задаче, сторона основания равна 2см, и угол между диагональю и плоскостью основания равен 60 градусам.
Нам необходимо найти объем треугольной призмы.

Для начала, найдем длину диагонали боковой грани.
Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины диагонали. В нашем случае, гипотенуза треугольника равна 2см (сторона основания), а один из катетов равен половине основания (1см) и другой катет - высоте треугольника.

\[d = \sqrt{h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{h^2 + 1^2}\]

Также, нам нужно найти высоту треугольника.
Мы можем использовать теорему синусов, так как мы знаем угол между диагональю и плоскостью основания (60°) и одну из сторон основания (1см).

\[\sin(60°) = \frac{h}{1}\]
\[h = \sin(60°)\]

Теперь мы можем подставить значения в формулу объема треугольной призмы:

\[V = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см}^2 \cdot \sqrt{\left(\sin(60°)\right)^2 + 1}\]

5) Подробное решение пятой задачи:
Если сторона основания куба равна 5см, то все его стороны также равны 5см.
Объем куба можно найти, возводя сторону в куб:

\[V = (5 \text{ см})^3\]