1) Каков метод нахождения площади треугольника АВС на плоскости с использованием векторов? 2) Как найти точку

Конечно, я могу помочь вам с этими задачами!

1) Метод нахождения площади треугольника АВС с использованием векторов основан на знании, что модуль половины векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, образованного этими векторами. Давайте рассмотрим, как это работает:

- Представим стороны треугольника АВ и АС в виде векторов: \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\).
- Теперь мы можем найти векторное произведение этих векторов: \(\vec{AB} \times \vec{AC}\).
- Полученный вектор будет иметь модуль, равный площади параллелограмма, образованного векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\).
- Чтобы получить площадь треугольника АВС, мы делим полученную площадь параллелограмма на 2.

Однако, чтобы облегчить задачу, мы можем использовать следующую формулу:

\[S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|\]

Где \(S\) - площадь треугольника АВС, \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) - векторы сторон треугольника.

2) Чтобы найти точку М, которая является симметричной точке А относительно стороны ВС, мы можем воспользоваться следующими шагами:

- Найдите середину отрезка ВС. Для этого сложите координаты точек В и С и разделите результат на 2.

\[(x_{BC}, y_{BC}) = \left(\frac{{x_B + x_C}}{2}, \frac{{y_B + y_C}}{2}\right)\]

- Затем найдите вектор \(\vec{AM}\), который направлен из точки А в точку М. Для этого вычтите координаты точки А из координат точки М.

\(\vec{AM} = (x_M - x_A, y_M - y_A)\)

- Зная середину отрезка ВС и вектор \(\vec{AM}\), мы можем найти координаты точки М, используя следующую формулу:

\[(x_M, y_M) = (2x_{BC} - x_A, 2y_{BC} - y_A)\]

3) Чтобы записать уравнение медианы треугольника АВС, нам понадобятся две вещи: одна точка на медиане и угловой коэффициент прямой, на которой лежит медиана.

- Найдите координаты вершины D, которая является серединой стороны ВС. Для этого сложите координаты точек В и С, и разделите результат на 2.

\[(x_D, y_D) = \left(\frac{{x_B + x_C}}{2}, \frac{{y_B + y_C}}{2}\right)\]

- Вычислите угловой коэффициент прямой БА. Для этого можно использовать формулу:

\[k = \frac{{y_B - y_A}}{{x_B - x_A}}\]

- Теперь у нас есть точка D, через которую проходит медиана, и угловой коэффициент прямой БА. Мы можем записать уравнение медианы в виде:

\[y - y_D = k(x - x_D)\]

Таким образом, уравнение медианы треугольника АВС с вершинами в точках А(2,1), В(-3,2) и С(-1,-4) будет:

\[y - \left(\frac{{2-4}}{2}\right) = \frac{{2-1}}{{-3-2}}(x - \frac{{-3-1}}{2})\]