1. Какое наименьшее расстояние от проектора до экрана B высотой 270 см необходимо, чтобы он был полностью освещен, если

1. Для того чтобы экран B высотой 270 см был полностью освещен проектором при неизменных настройках, наименьшее расстояние от проектора до экрана B можно найти, используя подобие треугольников.

Первым шагом определим подобные треугольники. Треугольник АВС и треугольник АВD подобны, так как у них углы А и В равны (по условию параллельности световых лучей), а сторона АВ общая. Тогда отношение сторон АВ к ВС и АВ к ВD будет одинаковым.

\(\frac{{AB}}{{BC}}=\frac{{AB}}{{BD}}\)

Подставим известные значения: \(AB=210\) см, \(BC=270\) см и найдем неизвестное значение \(BD\):

\(\frac{{210}}{{270}}=\frac{{210}}{{BD}}\)

Домножим обе части на \(BD\):

\(BD=\frac{{210 \cdot 270}}{{210}}=270\) см

Таким образом, расстояние от проектора до экрана B не должно быть меньше 270 см.

2. Чтобы найти высоту, на которой расположен фонарь, воспользуемся подобием треугольников.

Из рисунка видно, что треугольник, образованный человеком, его тенью и столбом с фонарем, подобен треугольнику, образованному тенью и столбом.

Так как у двух треугольников соответствующие углы равны (угол между тенью и фонарем и угол между тенью и человеком), их стороны будут пропорциональны. Вычислим высоту столба (фонаря).

Расстояние от человека до столба \(AB = 8\) шагов, а длина его тени \(BC = 5\) шагов. Тогда:

\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DC}}\)

Подставим известные значения:

\(\frac{{8}}{{5}} = \frac{{AD}}{{DC}}\)

Рассчитаем значение:

\(AD = \frac{{8 \cdot DC}}{{5}}\)

Теперь заменим расстояние от человека до столба на его высоту, то есть \(AD = 1.5\) м:

\(1.5 = \frac{{8 \cdot DC}}{{5}}\)

Выразим неизвестное значение \(DC\):

\(DC = \frac{{5 \cdot 1.5}}{{8}}\)

Расчитаем значение \(DC\):

\(DC = 0.9375\) м

Таким образом, фонарь расположен на высоте 0.9375 метра.

3. Для определения расстояния от человека до фонаря воспользуемся снова подобием треугольников.

Треугольники, образованные человеком, его тенью и фонарём, подобны. Величина длины тени и высоты человека являются линейно пропорциональными, поэтому мы можем использовать пропорцию для нахождения требуемого значения.

Рассмотрим треугольникы АВС и АВД:

\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{BD}}\)

Подставим известные значения: длина тени \(BC = 9\) м, рост человека \(AB = 1.8\) м и найдем неизвестное значение \(BD\):

\(\frac{{1.8}}{{9}} = \frac{{1.8}}{{BD}}\)

Домножим обе части на \(BD\):

\(BD = \frac{{1.8 \cdot 9}}{{1.8}} = 9\) м

Таким образом, человек находится на расстоянии 9 метров от фонаря.