1. Какие значения x и y являются решением системы уравнений: х-6у=20 и 4х+2у=2? 2. Какая скорость была у пешехода

Решение задачи 1:

Для нахождения значений \(x\) и \(y\), которые являются решением системы уравнений, мы используем метод подстановки.

Начнем с первого уравнения: \(x - 6y = 20\).

Мы можем выразить \(x\) через \(y\): \(x = 20 + 6y\).

Теперь подставим это значение \(x\) во второе уравнение: \(4(20 + 6y) + 2y = 2\).

Раскроем скобки: \(80 + 24y + 2y = 2\).

Соберем все члены с \(y\) в одну сторону: \(26y = 2 - 80\).

Выполним вычисления: \(26y = -78\).

Теперь разделим обе части уравнения на 26: \(y = \frac{-78}{26}\).

Упростим эту дробь, получим: \(y = -3\).

Теперь, когда мы нашли значение \(y\), подставим его обратно в первое уравнение, чтобы найти \(x\): \(x - 6(-3) = 20\).

Выполним вычисления: \(x + 18 = 20\).

Вычтем 18 из обеих частей уравнения: \(x = 2\).

Таким образом, решением системы уравнений \(x - 6y = 20\) и \(4x + 2y = 2\) является \(x = 2\) и \(y = -3\).

Решение задачи 2:

Чтобы найти скорость пешехода в гору и под гору, используем знание, что время, расстояние и скорость связаны соотношением \(V = \frac{S}{T}\), где \(V\) - скорость, \(S\) - расстояние, \(T\) - время.

Пусть скорость пешехода в гору будет равна \(V_1\) км/ч, а скорость пешехода под гору будет равна \(V_2\) км/ч.

Мы знаем, что пешеход шел в гору 1 час, поэтому расстояние в гору будет \(V_1\) км.

Также, пешеход шел под гору 2 часа, следовательно расстояние под гору будет \(2 \cdot V_2\) км.

Мы также знаем, что скорость пешехода под гору была на 2 км/ч выше, чем в гору: \(V_2 = V_1 + 2\).

Теперь мы можем сформулировать уравнение для расстояний: \(V_1 = 1 \cdot V_1\) и \(2 \cdot V_2 = 2 \cdot (V_1 + 2)\).

Теперь решим это уравнение. Подставим \(V_2\) из второго уравнения в первое: \(2 \cdot (V_1 + 2) = 1 \cdot V_1\).

Раскроем скобки: \(2V_1 + 4 = V_1\).

Вычтем \(V_1\) из обеих частей уравнения: \(V_1 + 4 = 0\).

Вычтем 4 из обеих частей уравнения: \(V_1 = -4\).

Таким образом, скорость пешехода в гору (\(V_1\)) равна -4 км/ч, а скорость пешехода под гору (\(V_2\)) равна -2 км/ч.

Отметим, что знак минус обозначает противоположное направление движения - скорость вниз.

Решение задачи 3:

Для нахождения значений \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют системе уравнений, мы решим ее пошагово.

Распишем первое уравнение: \(3(5x+3y)-6=2x+11\).

Раскроем скобки: \(15x+9y-6=2x+11\).

Вычтем \(2x\) из обеих частей уравнения: \(15x+9y-6-2x=11\).

Объединим переменные \(x\): \(13x+9y-6=11\).

Теперь рассмотрим второе уравнение: \(4x-15=11-2(4x-y)\).

Раскроем скобки: \(4x-15=11-8x+2y\).

Перегруппируем переменные \(x\) и \(y\) на одну сторону: \(4x+8x=11+15+2y\).

Сложим константы: \(12x=26+2y\).

Теперь, имея два уравнения:

\[
\begin{align*}
13x+9y-6&=11 \\
12x&=26+2y \\
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений, применяя метод замены переменных или метод исключения. Например, для метода замены переменных, решим первое уравнение относительно \(x\): \(x = \frac{11-9y+6}{13}\).

Теперь подставим это значение \(x\) во второе уравнение: \(12\left(\frac{11-9y+6}{13}\right) = 26+2y\).

Раскроем скобки и упростим: \(\frac{132-108y+72}{13} = 26+2y\).

Умножим обе части уравнения на 13, чтобы избавиться от дроби: \(132-108y+72 = 338+26y\).

Соберем все члены с \(y\) в одной стороне: \(-134 = 134y\).

Разделим обе части уравнения на 134, чтобы найти значение \(y\): \(y = \frac{-134}{134}\).

Упростим эту дробь, получим: \(y = -1\).

Теперь, когда мы нашли значение \(y\), подставим его обратно в первое уравнение, чтобы найти \(x\): \(13x+9(-1)-6=11\).

Выполним вычисления: \(13x-9-6=11\).

Сложим числа: \(13x-15=11\).

Прибавим 15 к обеим частям уравнения: \(13x=26\).

Разделим обе части уравнения на 13, чтобы найти значение \(x\): \(x = \frac{26}{13}\).

Упростим это значение, получим: \(x = 2\).

Таким образом, решением системы уравнений \(3(5x+3y)-6=2x+11\) и \(4x-15 = 11-2(4x-y)\) является \(x = 2\) и \(y = -1\).

Решение задачи 4:

Чтобы найти значения \(k\) и \(b\) и определить уравнение прямой, проходящей через точки А(4;-6) и В(-8;-12), используем формулу для уравнения прямой \(y = kx + b\).

Мы уже знаем координаты двух точек, а именно А(4;-6) и В(-8;-12).

Заменим в уравнении координаты точки А и пользуясь этим, составим уравнение: \(-6 = k \cdot 4 + b\).

Теперь заменим вторую точку В в уравнении: \(-12 = k \cdot -8 + b\).

У нас есть система уравнений:

\[
\begin{align*}
4k + b &= -6 \\
-8k + b &= -12 \\
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений, применяя метод замены переменных или метод исключения. Например, воспользуемся методом исключения.

Вычтем первое уравнение из второго: \((-8k + b) - (4k + b) = -12 - (-6)\).

Упростим: \(-8k + b - 4k - b = -12 + 6\).

Сократим одинаковые члены: \(-8k - 4k = -6\).

Выполним вычисления: \(-12k = -6\).

Разделим обе части уравнения на -12: \(k = \frac{-6}{-12}\).

Упростим это значение, получим: \(k = \frac{1}{2}\).

Теперь, когда мы нашли значение \(k\), подставим его обратно в первое уравнение, чтобы найти \(b\): \(4\left(\frac{1}{2}\right) + b = -6\).

Выполним вычисления: \(2 + b = -6\).

Вычтем 2 из обеих частей уравнения: \(b = -8\).

Таким образом, параметр \(k\) равен \(\frac{1}{2}\), параметр \(b\) равен -8, и уравнение прямой, проходящей через точки А(4;-6) и В(-8;-12), можно записать в виде \(y = \frac{1}{2}x - 8\).

Решение задачи 5:

Чтобы определить, существует ли решение системы уравнений \(3x + 5y = 2\) и \(6x + 10y = 4\), мы можем выполнить следующие действия:

Распишем первое уравнение: \(3x + 5y = 2\).

Заменим коэффициенты перед \(x\) и \(y\) во втором уравнении на их удвоенные значения: \(6x + 10y = 4\).

Обратим наше внимание на то, что оба уравнения имеют одинаковый коэффициент при \(y\) (5 и 10). Можем заметить, что второе уравнение является первым уравнением, умноженным на 2.

Это означает, что эти два уравнения представляют одну и ту же прямую.

Следовательно, система уравнений имеет бесконечное количество решений.

Резюмируя, решениями системы уравнений \(3x + 5y = 2\) и \(6x + 10y = 4\) являются все точки, лежащие на одной прямой, определяемой уравнением \(3x + 5y = 2\).