1. Какие значения x и y являются решением системы уравнений: х-6у=20 и 4х+2у=2? 2. Какая скорость была у пешехода

Решение задачи 1:

Для нахождения значений $x$ и $y$, которые являются решением системы уравнений, мы используем метод подстановки.

Начнем с первого уравнения: $x-6y=20$.

Мы можем выразить $x$ через $y$: $x=20+6y$.

Теперь подставим это значение $x$ во второе уравнение: $4(20+6y)+2y=2$.

Раскроем скобки: $80+24y+2y=2$.

Соберем все члены с $y$ в одну сторону: $26y=2-80$.

Выполним вычисления: $26y=-78$.

Теперь разделим обе части уравнения на 26: $y=\frac{-78}{26}$.

Упростим эту дробь, получим: $y=-3$.

Теперь, когда мы нашли значение $y$, подставим его обратно в первое уравнение, чтобы найти $x$: $x-6(-3)=20$.

Выполним вычисления: $x+18=20$.

Вычтем 18 из обеих частей уравнения: $x=2$.

Таким образом, решением системы уравнений $x-6y=20$ и $4x+2y=2$ является $x=2$ и $y=-3$.

Решение задачи 2:

Чтобы найти скорость пешехода в гору и под гору, используем знание, что время, расстояние и скорость связаны соотношением $V=\frac{S}{T}$, где $V$ - скорость, $S$ - расстояние, $T$ - время.

Пусть скорость пешехода в гору будет равна $V_1$ км/ч, а скорость пешехода под гору будет равна $V_2$ км/ч.

Мы знаем, что пешеход шел в гору 1 час, поэтому расстояние в гору будет $V_1$ км.

Также, пешеход шел под гору 2 часа, следовательно расстояние под гору будет $2\cdot V_2$ км.

Мы также знаем, что скорость пешехода под гору была на 2 км/ч выше, чем в гору: $V_2=V_1+2$.

Теперь мы можем сформулировать уравнение для расстояний: $V_1=1\cdot V_1$ и $2\cdot V_2=2\cdot (V_1+2)$.

Теперь решим это уравнение. Подставим $V_2$ из второго уравнения в первое: $2\cdot (V_1+2)=1\cdot V_1$.

Раскроем скобки: $2V_1+4=V_1$.

Вычтем $V_1$ из обеих частей уравнения: $V_1+4=0$.

Вычтем 4 из обеих частей уравнения: $V_1=-4$.

Таким образом, скорость пешехода в гору ($V_1$) равна -4 км/ч, а скорость пешехода под гору ($V_2$) равна -2 км/ч.

Отметим, что знак минус обозначает противоположное направление движения - скорость вниз.

Решение задачи 3:

Для нахождения значений $x$ и $y$, которые удовлетворяют системе уравнений, мы решим ее пошагово.

Распишем первое уравнение: $3(5x+3y)-6=2x+11$.

Раскроем скобки: $15x+9y-6=2x+11$.

Вычтем $2x$ из обеих частей уравнения: $15x+9y-6-2x=11$.

Объединим переменные $x$: $13x+9y-6=11$.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $4x-15=11-2(4x-y)$.

Раскроем скобки: $4x-15=11-8x+2y$.

Перегруппируем переменные $x$ и $y$ на одну сторону: $4x+8x=11+15+2y$.

Сложим константы: $12x=26+2y$.

Теперь, имея два уравнения:

$$\begin{array}{rl}13x+9y-6& =11\\ 12x& =26+2y\end{array}$$

Мы можем решить эту систему уравнений, применяя метод замены переменных или метод исключения. Например, для метода замены переменных, решим первое уравнение относительно $x$: $x=\frac{11-9y+6}{13}$.

Теперь подставим это значение $x$ во второе уравнение: $12\left(\frac{11-9y+6}{13}\right)=26+2y$.

Раскроем скобки и упростим: $\frac{132-108y+72}{13}=26+2y$.

Умножим обе части уравнения на 13, чтобы избавиться от дроби: $132-108y+72=338+26y$.

Соберем все члены с $y$ в одной стороне: $-134=134y$.

Разделим обе части уравнения на 134, чтобы найти значение $y$: $y=\frac{-134}{134}$.

Упростим эту дробь, получим: $y=-1$.

Теперь, когда мы нашли значение $y$, подставим его обратно в первое уравнение, чтобы найти $x$: $13x+9(-1)-6=11$.

Выполним вычисления: $13x-9-6=11$.

Сложим числа: $13x-15=11$.

Прибавим 15 к обеим частям уравнения: $13x=26$.

Разделим обе части уравнения на 13, чтобы найти значение $x$: $x=\frac{26}{13}$.

Упростим это значение, получим: $x=2$.

Таким образом, решением системы уравнений $3(5x+3y)-6=2x+11$ и $4x-15=11-2(4x-y)$ является $x=2$ и $y=-1$.

Решение задачи 4:

Чтобы найти значения $k$ и $b$ и определить уравнение прямой, проходящей через точки А(4;-6) и В(-8;-12), используем формулу для уравнения прямой $y=kx+b$.

Мы уже знаем координаты двух точек, а именно А(4;-6) и В(-8;-12).

Заменим в уравнении координаты точки А и пользуясь этим, составим уравнение: $-6=k\cdot 4+b$.

Теперь заменим вторую точку В в уравнении: $-12=k\cdot -8+b$.

У нас есть система уравнений:

$$\begin{array}{rl}4k+b& =-6\\ -8k+b& =-12\end{array}$$

Мы можем решить эту систему уравнений, применяя метод замены переменных или метод исключения. Например, воспользуемся методом исключения.

Вычтем первое уравнение из второго: $(-8k+b)-(4k+b)=-12-(-6)$.

Упростим: $-8k+b-4k-b=-12+6$.

Сократим одинаковые члены: $-8k-4k=-6$.

Выполним вычисления: $-12k=-6$.

Разделим обе части уравнения на -12: $k=\frac{-6}{-12}$.

Упростим это значение, получим: $k=\frac{1}{2}$.

Теперь, когда мы нашли значение $k$, подставим его обратно в первое уравнение, чтобы найти $b$: $4\left(\frac{1}{2}\right)+b=-6$.

Выполним вычисления: $2+b=-6$.

Вычтем 2 из обеих частей уравнения: $b=-8$.

Таким образом, параметр $k$ равен $\frac{1}{2}$, параметр $b$ равен -8, и уравнение прямой, проходящей через точки А(4;-6) и В(-8;-12), можно записать в виде $y=\frac{1}{2}x-8$.

Решение задачи 5:

Чтобы определить, существует ли решение системы уравнений $3x+5y=2$ и $6x+10y=4$, мы можем выполнить следующие действия:

Распишем первое уравнение: $3x+5y=2$.

Заменим коэффициенты перед $x$ и $y$ во втором уравнении на их удвоенные значения: $6x+10y=4$.

Обратим наше внимание на то, что оба уравнения имеют одинаковый коэффициент при $y$ (5 и 10). Можем заметить, что второе уравнение является первым уравнением, умноженным на 2.

Это означает, что эти два уравнения представляют одну и ту же прямую.

Следовательно, система уравнений имеет бесконечное количество решений.

Резюмируя, решениями системы уравнений $3x+5y=2$ и $6x+10y=4$ являются все точки, лежащие на одной прямой, определяемой уравнением $3x+5y=2$.